Teoría del control desde un punto de vista algebro-geométrico
La entrada de un sistema dinámico se define mediante un controlador con estímulos y comandos con el fin de obtener la respuesta deseada por el usuario. El objetivo principal de la teoría del control es tomar el resultado deseado y determinar la acción necesaria para corregir las diferencias en el resultado real mediante la implementación de una acción de retroalimentación del tipo adecuado. El proyecto A-DAP (Approximate solutions of the determinantal assignment problem and distance problems), financiado por la Unión Europea, se centró en este tipo de formulación abstracta del problema. El problema DAP se puede descomponer en un subproblema lineal y otro multilineal, tales que el problema lineal introduce una variedad lineal y el multilineal está definido por cuadráticas que caracterizan la variedad de Grassmann de un espacio proyectivo. La posibilidad de solución del problema de asignación determinantal (DAP) se reduce a hallar soluciones reales de las ecuaciones lineales y no lineales o, de otro modo, intersecciones reales de las dos variedades. Las soluciones definen los compensadores que asignan frecuencias críticas del sistema como los polos y ceros. El nuevo método introducido en A-DAP utiliza una representación matricial de la variedad de Grassmann, problemas de distancia entre variedades y las nociones de descomposición aproximada de tensores con el fin de obtener soluciones exactas cuando el problema tiene una solución y soluciones aproximadas cuando no existen intersecciones exactas entre las variedades. Este problema era resolver el subproblema lineal. Este enfoque representa un cambio cualitativo respecto del de la geometría algebraica clásica porque busca intersecciones reales examinando problemas de distancia entre variedades relevantes. En matemáticas, una variedad de Grassmann en un espacio proyectivo es una variedad que caracteriza todos los subespacios lineales de un espacio vectorial de una dimensión determinada. Los científicos introdujeron una serie de herramientas nuevas que permitían calcular la distancia de un vector determinado que describe la variedad implicada por el subproblema lineal respecto de la variedad de Grassmann. En particular, se utilizaron técnicas de optimización con fronteras y la descomposición de tensores para abordar el problema de la distancia entre la variedad lineal y la de Grassmann. Si la distancia es cero, significa que se ha hallado la solución al problema de intersección correspondiente. De lo contrario, el enfoque podría dar lugar a una solución aproximada del DAP. El DAP aproximado se pudo resolver completamente en el caso 2D y se ha derivado una solución con forma cerrada. Además, se ha derivado un algoritmo numérico dedicado a la aproximación de DAP en dimensiones mayores utilizando la nueva representación de la variedad de Grassmann y su dual. En este caso, la solución se obtiene mediante la descomposición del tensor parametrizado derivado del sistema de ecuaciones lineales. A-DAP concluyó con extensiones importantes de esta metodología para el rediseño de circuitos eléctricos formados por una resistencia, una inducción y un condensador. También se propuso una nueva formulación en forma de problema de toma de decisiones, lo cual abre el camino hacia aplicaciones prácticas en gestión y finanzas.
Palabras clave
Teoría del control, ecuaciones no lineales, A-DAP, problema de asignación determinantal, optimización con fronteras, geometría algebraica computacional
