Teoria del controllo dal punto di vista algebrico-geometrico
L’input di un sistema dinamico è definito da un controller con stimolo e comandi al fine di ottenere la risposta desiderata dell’utente. L’obiettivo principale della teoria del controllo è quello di prendere il risultato desiderato e determinare l’azione necessaria per correggere le differenze nel risultato effettivo utilizzando un’appropriata azione di feedback. Il progetto A-DAP (Approximate solutions of the determinantal assignment problem and distance problems), finanziato dall’UE, riguarda la formulazione di un problema di tale astrattezza. Il problema DAP può essere scomposto in sottoproblemi lineari e multilineari, dove il problema lineare introduce una varietà lineare e il problema multilineare è definito da formule quadratiche che caratterizzano la varietà di Grassmann di uno spazio proiettivo. La risolubilità del problema di assegnazione determinantale (DAP) è ridotto a trovare soluzioni reali alle equazioni lineari e non lineari, oppure intersezioni reali delle due varietà. Le soluzioni definiscono i compensatori che assegnano frequenze critiche del sistema come poli e zeri. La nuova metodologia introdotta dal progetto A-DAP utilizza una rappresentazione di matrice della varietà di Grassmann, problemi di distanza tra varietà e nozioni di decomposizione approssimativa dei tensori per l’ottenimento di soluzioni esatte quando il problema vanta una soluzione e di soluzioni approssimate quando le intersezioni esatte delle varietà non esistono. Il problema in questione riguarda la soluzione del sotto-problema lineare. L’approccio apporta una modifica qualitativa all’approccio della geometria algebrica classica, ricercando intersezioni reali mediante lo studio dei problemi di distanza tra le varietà pertinenti. In matematica, una varietà di Grassmann in uno spazio proiettivo è una varietà che caratterizza tutti i sottospazi lineari di uno spazio vettoriale relativo a una determinata dimensione. Gli scienziati hanno introdotto una serie di nuovi strumenti che consentono il calcolo della distanza di un dato vettore che descrive la varietà implicita nel sotto-problema lineare riguardante la varietà di Grassmann. In particolare, l’ottimizzazione e la decomposizione vincolata delle tecniche che utilizzano i tensori sono state usate per affrontare il problema della distanza tra varietà lineare e varietà di Grassmann. Se la distanza è pari a zero, si ottiene la soluzione al problema di intersezione corrispondente. In caso contrario, l’approccio potrebbe portare a una soluzione approssimata del DAP. Il DAP approssimato potrebbe essere completamente risolto nel caso 2D e ne deriverebbe una soluzione in forma chiusa. Inoltre, è stato derivato un algoritmo numerico dedicato per le approssimazioni DAP, nelle dimensioni superiori, utilizzando la nuova rappresentazione della varietà di Grassmann e il relativo duale. In questo caso, la soluzione si ottiene scomponendo il tensore parametrizzato derivato dal sistema di equazioni lineari. Il progetto A-DAP si è concluso con importanti estensioni di questa metodologia in quanto a riprogettazione di circuiti elettrici costituiti da resistore, induttore e condensatore. È stata inoltre proposta una nuova formulazione come problema decisionale,, aprendo la strada ad applicazioni pratiche in fatto di amministrazione e finanza.
Parole chiave
Teoria del controllo, equazioni non lineari, A-DAP, problema di assegnazione determinantale, ottimizzazione vincolata, geometria algebrica computazionale
