Teoria sterowania z punktu widzenia algebry i geometrii
Dane wejściowe układu dynamicznego definiowane są przez urządzenie sterujące przy pomocy bodźców i poleceń, co pozwala uzyskać reakcję pożądaną przez użytkownika. Głównym celem teorii sterowania jest uwzględnienie pożądanego rezultatu i określenie działania potrzebnego do skorygowania różnic w rezultacie rzeczywistym poprzez wykorzystanie odpowiedniego rodzaju sprzężenia zwrotnego. Projekt A-DAP (Approximate solutions of the determinantal assignment problem and distance problems), finansowany ze środków UE, koncentrował się wokół takiego abstrakcyjnego problemu dotyczącego wyrażenia za pomocą wzoru. Problem DAP można rozłożyć na liniowe i wieloliniowe problemy podrzędne, gdzie problem liniowy wprowadza rozmaitość liniową, a problem wieloliniowy definiowany jest przez teorię równań kwadratowych, charakteryzującą rozmaitość Grassmanna przestrzeni rzutowej. Rozwiązalność problemu przypisania wyznacznikowego (DAP) jest redukowana do znalezienia rzeczywistego rozwiązania równań liniowych i nieliniowych, lub też rzeczywistych iloczynów dwóch rozmaitości. Rozwiązania te definiują kompensatory, które przypisują krytyczne częstości układu, takie jak bieguny i zera. Nowa metodologia opracowana w projekcie A-DAP wykorzystuje reprezentację macierzową rozmaitości Grassmanna, problemy odległości między rozmaitościami i pojęciami przybliżonego rozkładu tensorów, umożliwiając uzyskanie rozwiązań dokładnych, gdy problem posiada rozwiązania, oraz rozwiązań przybliżonych, gdy brak jest dokładnych iloczynów rozmaitości. Ten problem pozwala na rozwiązanie liniowego problemu podrzędnego. Podejście to oznacza zmianę jakościową w dziedzinie klasycznej geometrii algebraicznej, polegającą na poszukiwaniu rzeczywistych iloczynów poprzez analizę problemów dotyczących odległości między odnośnymi rozmaitościami. W matematyce rozmaitość Grassmanna w przestrzeni rzutowej jest rozmaitością charakteryzującą wszystkie podprzestrzenie liniowe przestrzeni wektorowej w danym wymiarze. Naukowcy stworzyli szereg nowych narzędzi, umożliwiających obliczanie odległości danego wektora, opisującego rozmaitości implikowane przez liniowy problem podrzędny na podstawie rozmaitości Grassmanna. Dokładniej mówiąc, wykorzystano optymalizację z ograniczeniami i rozkład tensorów do rozwiązania problemu odległości między rozmaitościami liniowymi i rozmaitościami Grassmanna. Jeżeli odległość wynosi zero, wówczas znajdowane jest rozwiązanie odpowiadającego jej problemu iloczynu. W przeciwnym razie zastosowanie tej metody może prowadzić do uzyskania przybliżonego rozwiązania DAP. Przybliżony DAP można całkowicie rozwiązać w dwuwymiarowym przypadku, na potrzeby czego stworzono rozwiązania formuły zamkniętej. Ponadto opracowano specjalny algorytm numeryczny do przybliżeń DAP w wyższych wymiarach, wykorzystując nowe reprezentacje rozmaitości Grassmanna i jej postać dualną. W tym przypadku rozwiązanie uzyskiwane jest poprzez rozłożenie sparametryzowanego tensora otrzymanego na podstawie układu równań liniowych. W ramach projektu A-DAP powstały też ważne rozszerzenia tej metodologii, dotyczące zmiany konstrukcji obwodów elektrycznych składających się z rezystora, wzbudnika i kondensatora. Zaproponowano też nowe wyrażenie problemu dotyczącego podejmowania decyzji, co pozwoli znaleźć praktyczne zastosowanie w zarządzaniu i finansach.
