Objetos cuánticos y álgebra
Los anillos coordenados cuantizados abarcan álgebras no conmutativas como las matrices cuánticas, las variedades de señales cuánticas y las celdas cuánticas de Schubert. Los anillos coordenados también aparecen en la geometría algebraica clásica. Esto sugiere la posibilidad de estudiar las cuantizaciones por medios algebraicos y también desde la perspectiva geométrica, como parte de la geometría algebraica no conmutativa. Los puntos, las curvas, las superficies y demás elementos procedentes de la geometría clásica se sustituyen en el mundo no conmutativo por un espectro de ideales primos y teoría de la representación. El proyecto RTQASL (Representation theory of quantum algebras and their semi-classical limits) estudió las cuantizaciones de las álgebras clásicas. Tal vez el ejemplo más sencillo de lo que se entiende por cuantización sea considerar el anillo polinómico C[x,y] en dos indeterminados conmutativos y cuantizarlo fijando un parámetro q complejo distinto de cero tal que xy = qxy. Si q = 1, entonces se recupera el anillo original. El anillo coordenado cuantizado más elemental es el de las matrices cuánticas m x n. Las matrices cuánticas se pueden utilizar para construir otros grupos cuánticos como el de los grupos lineales generales y especiales cuánticos y el Grassmanniano cuántico. En los años anteriores al inicio del proyecto RTQASL, se encontró que las matrices cuánticas, así como sus cocientes por ciertos ideales primos, se podían construir mediante una red ponderada en forma de rejilla con ponderaciones en álgebras no conmutativas. Cada generador de matrices cuánticas 2x2 corresponde a una colección de rutas en esta red. Una característica interesante de este enfoque es que las relaciones que definen las matrices cuánticas se interpretan analizando pares de rutas intersecantes. En ese modelo, ciertos elementos importantes, llamados menores cuánticos, se interpretan en forma de sumas de colecciones de rutas no intersecantes. El hecho de que este enfoque es más que una mera curiosidad se demostró mediante la caracterización de la generación de conjuntos de ideales primos de un tipo específico e importante llamados ideales H-primos. El enfoque se amplió para mostrar que otros grupos cuánticos tienen un modelo de rutas. El estudio más extenso se llevó a cabo sobre el Grassmanniano cuántico. Se trata de la subálgebra de matrices cuánticas generada por menores cuánticos maximales. Es cada vez más importante por su utilidad en física cuántica y clásica. Por ejemplo, recientemente se ha descubierto una relación estrecha entre los H-primos del Grassmanniano cuántico y la interacción de ondas en la superficie de fluidos.
