Obiekty kwantowe i algebra
Skwantowane pierścienie współrzędnych obejmują algebry nieprzemienne, takie jak macierze kwantowe, flagowe rozmaitości kwantowe i kwantowe podklasy Schuberta. Pierścienie współrzędnych występują także w klasycznej geometrii algebraicznej. Sugeruje to, że kwantyzacje można badać nie tylko przy pomocy środków algebraicznych, ale także z perspektywy geometrycznej, na przykład w ramach nieprzemiennej geometrii algebraicznej. Punkty, krzywe, powierzchnie itd. pochodzące z geometrii klasycznej zastępowane są w świecie nieprzemiennym przez szereg ideałów pierwszych i teorię reprezentacji. W projekcie RTQASL (Representation theory of quantum algebras and their semi-classical limits) badano kwantyzacje algebr klasycznych. Być może najprostszym przykładem kwantyzacji jest wzięcie pierścienia wielomianów C[x,y] w dwóch przemiennych nieoznaczonych, i skwantowanie go poprzez ustalenie niezerowego parametru zespolonego q oraz założenie, że xy=qyx. Jeżeli q=1, wówczas uzyskiwany jest pierścień oryginalny. Najbardziej podstawowy skwantowany pierścień współrzędnych to pierścień macierzy kwantowych m x n. Macierze kwantowe można wykorzystać do konstruowania innych grup kwantowych, takich jak i kwantowe grupy specjalne i ogólne grupy liniowe czy grassmannian kwantowy. W latach poprzedzających rozpoczęcie realizacji projektu RTQASL ustalono, że macierze kwantowe, a także ich ilorazy przez określone ideały pierwsze, można skonstruować przy pomocy ważonej, przypominającej siatkę sieci z wagami w algebrach nieprzemiennych. Każdy generator macierzy kwantowych 2x2 odpowiada zbiorowi ścieżek w tej sieci. Zaletą tego podejścia jest fakt, że definiujące relacje w macierzach kwantowych są interpretowane poprzez przyglądanie się parom przecinających się ścieżek. Ważne elementy, nazywane zwierciadłami kwantowymi, znajdują interpretację w tym modelu jako sumy zbiorów nieprzecinających się ścieżek. Tego, że podejście nie jest tylko ciekawostką, dowiedziono, charakteryzując generujące zbiory dla ideałów pierwszych szczególnego, ale ważnego typu, nazywanych ideałami pierwszymi H. Podejście to rozszerzono, aby wykazać, że inne grupy kwantowe posiadają model oparty na ścieżkach. Najbardziej szczegółowe badanie przeprowadzono na grassmannianie kwantowym. Jest to podalgebra macierzy kwantowych generowana przez maksymalne zwierciadła kwantowe. Znaczenie grassmannianu rośnie ze względu na jego przydatność w fizyce kwantowej, jak i klasycznej. Przykładowo, niedawno odkryto bliskie powiązanie między ideałami H grassmannianu kwantowego a przecięciem fal na powierzchni płynów.
