Algebra e oggetti quantici
Gli anelli delle coordinate quantizzati comprendono algebre non-commutative come matrici quantistiche, varietà di bandiera quantistiche e celle di Schubert quantistiche. Gli anelli delle coordinate vengono visualizzati anche nella geometria algebrica classica. Ciò suggerisce di effettuare uno studio delle quantizzazioni non solo con mezzi algebrici, ma anche da una prospettiva geometrica, come parte della geometria algebrica non-commutativa. I punti, le curve, le superfici, e così via, provenienti dalla geometria classica, vengono sostituiti nel mondo non-commutativo da uno spettro di ideali primi e dalla teoria delle rappresentazioni. Il progetto RTQASL (Representation theory of quantum algebras and their semi-classical limits) ha studiato le quantizzazioni delle algebre classiche. Forse l’esempio più semplice di cosa si intende per quantizzazione è la trasformazione dell’anello polinomiale C[x, y] in due indeterminate commutative quantizzandolo mediante un parametro complesso q diverso da zero e dichiarando che xy = qyx. Se q = 1, allora l’anello originale viene recuperato. L’anello delle coordinate quantizzate più elementare è quello di m x n matrici quantistiche. Le matrici quantistiche possono essere utilizzate per costruire altri gruppi quantici come il gruppo quantico speciale e lineare generale, e la grassmanniana quantistica. Negli anni che precedono l’inizio del progetto RTQASL, è stato scoperto che le matrici quantistiche, nonché i relativi quozienti di determinati ideali primi, possono essere costruiti mediante l’utilizzo di una rete a griglia ponderata nell’ambito dell’algebra non commutativa. Ogni generatore di matrice quantistica 2 x 2 corrisponde a un insieme di percorsi all’interno di tale rete. Un’interessante caratteristica di questo approccio è data dal fatto che le relazioni definizione per le matrici quantistiche vengono interpretate osservando coppie di percorsi intersecanti. Importanti elementi chiamati minori quantistici vantano un’interpretazione in questo modello, come le somme relative agli insiemi di percorsi non intersecanti. Che tale approccio fosse più di una semplice curiosità è stato dimostrato dalla caratterizzazione di gruppi generatori di ideali primi relativi a un tipo speciale, ma importante, chiamato primo H ideale. L’approccio è stato esteso per dimostrare che anche altri gruppi quantici vantano un modello di percorsi. Lo studio più ampio realizzato è stato quello relativo alla grassmanniana quantistica. Questa è la sottoalgebra delle matrici quantistiche generate da parte dei massimi minori quantistici. Sta diventando sempre più importante a causa della sua utilità in ambito di fisica classica e quantistica. Per esempio, recentemente è stata scoperto una stretta connessione tra primi H della grassmanniana quantistica e interazione delle onde sulla superficie dei liquidi.
Parole chiave
Anello delle coordinate, algebre non commutative, matrici quantiche, RTQASL, grassmanniana
