Les objets quantiques et l'algèbre
Les anneaux de coordonnées quantifiés englobent l'algèbre non commutative comme les matrices quantiques, les variétés de marqueurs quantiques et les cellules de Schubert. Les anneaux de coordonnées apparaissent également dans la géométrie algébrique classique. Ceci implique d'étudier les quantifications non seulement par la méthode algébrique, mais aussi d'une perspective géométrique, en tant que partie intégrante de la géométrie algébrique non commutative. Dans l'univers non commutatif, les points, les courbes, les surfaces et autres formes propres à la géométrie classique sont remplacés par un spectre d'idéaux premiers et la théorie des représentations. Le projet RTQASL (Representation theory of quantum algebras and their semi-classical limits) a étudié les quantifications en algèbre classique. Peut-être que l'exemple le plus simple de démontrer ce qu'est une quantification est de prendre l'anneau polynomial C[x,y] en deux indéterminés commutatifs et de le quantifier en déterminant un paramètre q complexe non égal à zéro et de déclarer que xy=qyx. Si q=1, alors l'anneau original est récupéré. L'anneau de coordonnées quantifié le plus élémentaire est celui des matrices quantiques m x n. Les matrices quantiques peuvent être utilisées pour construire d'autres groupes quantiques tels que le groupe quantique spécial, les groupes généraux linéaires et la Grassmannienne quantique. Au cours des années précédant le démarrage du projet RTQASL, on a découvert qu'il était possible de construire des matrices quantiques, ainsi que leurs quotients par certains idéaux premiers, en utilisant un réseau pondéré de type grille et des poids en algèbre non commutative. Chaque générateur de matrices quantiques 2x2 correspond à un ensemble de chemins dans ce réseau. L'aspect intéressant de l'approche est que les relations définissant les matrices quantiques sont interprétées en observant les chemins d'intersection par paires. Dans ce modèle, les éléments importants appelés mineurs quantiques sont interprétés en tant que sommes des ensembles de chemins disjoints. Le fait que cette approche est bien plus qu'une simple curiosité a été démontré en caractérisant les ensembles générés pour des idéaux premiers d'un type spécial mais important, appelés idéaux premiers de H. L'approche a été étendue pour montrer que d'autres groupes quantiques ont un modèle de chemins. L'étude la plus approfondie a concerné la Grassmanienne quantique. Il s'agit d'une sous-algèbre de matrices quantiques générée par des mineurs quantiques maximum. Elle prend de plus en plus d'importance en raison de son utilité en physique quantique et classique. Par exemple, une connexion étroite a récemment été découverte entre les idéaux premiers de H de la Grassmanienne quantique et l'interaction des ondes à la surface des fluides.
Mots‑clés
Anneaux de coordonnées, algèbre non commutative, matrices quantiques, RTQASL, Grassmannienne
