Quantenobjekte und Algebra
Quantisierte Koordinatenringe umfassen nichtkommutative Algebren wie Quanten-Matrizen, Quanten-Flag-Sorten und Quanten-Schubert-Zellen. Koordinatenringe kommen auch in der klassischen algebraischen Geometrie vor. Dies legt die Untersuchung der Quantisierungen nicht nur durch algebraische Mittel, sondern auch aus einer geometrischen Perspektive nahe, als Teil der nichtkommutativen algebraischen Geometrie. Punkte, Kurven, Flächen und andere Objekte aus der klassischen Geometrie werden in der nichtkommutativen Welt durch ein Spektrum von Primidealen und Darstellungstheorien ersetzt. Das Projekt RTQASL (Representation theory of quantum algebras and their semi-classical limits) untersuchte Quantisierungen von klassischen Algebren. Für das vielleicht einfachste Beispiel dafür, was mit einer Quantisierung gemeint ist, nimmt man den Polynomring C[x, y] in zwei pendelnde Indeterminaten und quantisiert ihn, indem man einen von Null verschiedenen komplexen Parameter q fixiert und erklärt, dass xy = qyx. Wenn q = 1 ist, dann ist der ursprüngliche Ring wieder hergestellt. Der elementarste quantisierte Koordinatenring ist der von m x n Quanten-Matrizen. Quanten-Matrizen können verwendet werden, um andere Quantengruppen zu konstruieren, wie etwa die Quanten-speziellen und allgemeinen linearen Gruppen und Quanten-Graßmann-Mannigfaltigkeit. In den Jahren nach Beginn des Projekts RTQASL fand man heraus, dass die Quanten-Matrizen, ebenso wie deren Quotienten durch bestimmte Primideale, mithilfe eines gewichteten gitterartigen Netzes mit Gewichten in nichtkommutativen Algebren konstruiert werden konnten. Jeder Generator von 2x2-Quanten-Matrizen entspricht einer Sammlung von Pfaden in diesem Netz. Eine hilfreiche Eigenschaft des Ansatzes ist, dass die definierenden Beziehungen für Quanten-Matrizen interpretiert werden, indem man Paare von sich kreuzenden Pfaden betrachtet. Wichtige Elemente, die als Quanten-Minors bezeichnet werden, haben eine Interpretation in diesem Modell als Summen über Sammlungen von sich nicht kreuzenden Pfaden. Dass dieser Ansatz mehr ist als eine bloße Kuriosität, wurde durch die Charakterisierung von generierenden Reihen für Primidealen einer speziellen aber wichtigen Art, den H-Primidealen, demonstriert. Der Ansatz wurde erweitert, um zu zeigen, dass auch andere Quantengruppen ein Pfadmodell haben. Die umfangreichste Studie betraf die Quanten-Graßmann-Mannigfaltigkeit. Dies ist die Subalgebra von Quanten-Matrizen, erzeugt durch maximale Quanten-Minors. Aufgrund ihrer Nützlichkeit sowohl für die Quanten- als auch für die klassische Physik wurde sie zunehmend wichtige. Zum Beispiel wurde eine enge Verbindung zwischen den H-Primzahlen der Quanten-Graßmann-Mannigfaltigkeit und der Wechselwirkung von Wellen auf der Oberfläche von Flüssigkeiten entdeckt.
Schlüsselbegriffe
Koordinatenringe, nichtkommutative Algebren, Quanten-Matrizen, RTQASL, Graßmann-Mannigfaltigkeit
