La géométrie dans les logiciels de correction d'erreurs
Les objets géométriques peuvent être visualisés comme des systèmes projectifs ou systèmes de points projectifs doubles et ils correspondent donc à des types spécifiques de codes linéaires. Ces codes sont profondément impliqués dans le processus de transmission de l'information, pour la protéger contre les erreurs se produisant durant le processus. Les codes linéaires de correction d'erreurs sont essentiels dans la transmission de l'information numérique. Le but du projet FACE (Finite and algebraic geometry for error correction) était d'étudier et de développer des connexions entre la théorie de codage et les objets géométriques non linéaires dans les espaces Galois en utilisant à la fois des méthodes théoriques et informatiques. L'étude a principalement porté sur des types particuliers d'objets géométriques non linéaires: les arcs (les contreparties géométriques des codes linéaires de correction d'erreurs), (n,r)-arcs et caps. Des articles ont été publiés sur les travaux du projet relatifs aux codes fonctionnels découlant des intersections d'hypersurfaces algébriques de faible degré ayant une forme quadrique non singulière et aux limites du nombre de points rationnels des hypersurfaces algébriques sur un corps fini. Un autre article a été soumis concernant des configurations d'hyperplans dans des espaces projectifs finis: ce sujet est lié à la détermination de mots de code de poids faible dans les codes Reed-Muller. L'équipe a également examiné les familles infinies de petits arcs complets dans les espaces projectifs et de (n,3)-arcs et (n,4)-arcs dans les plans projectifs. Des familles de petits caps complets dans des espaces projectifs finis ont été construites à l'aide de méthodes informatiques servant à construire des caps complets dans les espaces projectifs en 3 dimensions. Les caps ont aussi été décrits en utilisant des méthodes algébriques et théoriques. Les chercheurs ont exploré des familles d'ensembles de saturation dans les espaces projectifs en utilisant des méthodes probabilistes. Les résultats de ce projet seront utiles à la communauté scientifique pour mieux comprendre le lien entre la géométrie finie et la théorie de codage, et peuvent servir de point de départ d'autres constructions ou généralisations. Les connexions à la théorie de codage seront pertinentes dans tout domaine lié à la communication de l'information et à la protection contre les erreurs se produisant durant la transmission.
Mots‑clés
Logiciel de correction d'erreurs, communication numérique, objets géométriques, géométrie algébrique, théorie de codage