Geometria w oprogramowaniu do korekty błędów
Obiekty geometryczne mogą być postrzegane jako systemy projekcyjne lub podwójne systemy projekcyjne punktów, a zatem odpowiadają określonym typom kodów liniowych. Kody te są wykorzystywane w procesie przekazywania informacji w celu zabezpieczenia ich przed błędami występującymi podczas procesu. Liniowe kody korekty błędów mają fundamentalne znaczenie w przekazywaniu informacji cyfrowej. Celem projektu FACE (Finite and algebraic geometry for error correction) było badanie i rozwijanie połączeń pomiędzy teorią kodowania i nieliniowymi obiektami geometrycznymi w przestrzeniach Galois przy użyciu zarówno metod teoretycznych, jak i obliczeniowych. Badanie skupiało się przede wszystkim na poszczególnych rodzajach nieliniowych obiektów geometrycznych: łukach (geometryczne odpowiedniki liniowych kodów korekty błędów), łukach-(n,r) i kopułach. W ramach projektu opublikowano artykuły dotyczące kodów funkcjonalnych wynikających z przecięcia algebraicznych hiperpowierzchni w niewielkim stopniu z nieosobliwą formą kwadratową, a także na ograniczeniach liczby punktów wymiernych algebraicznych hiperpowierzchni na polach skończonych. Złożono też inny artykuł na temat konfiguracji hiperpłaszczyzn w ograniczonych przestrzeniach rzutowych: temat ten wiąże się z określeniem słów kodowych o małym znaczeniu w kodach Reeda-Mullera. Zespół badał również nieskończone rodziny małych pełnych łuków w przestrzeniach rzutowych oraz łuki-(n,3) i łuki-(n,4) na płaszczyznach rzutowych. Skonstruowano rodziny małych kompletnych kopuł w skończonych przestrzeniach rzutowych i wykorzystano metody obliczeniowe do skonstruowania kompletnych kopuł w przestrzeniach rzutowych w wymiarze 3. Kopuły opisano także za pomocą metod algebraicznych i teoretycznych. Naukowcy badali rodziny zestawów nasycania w przestrzeniach rzutowych z wykorzystaniem metod probabilistycznych. Wyniki tego projektu będą użyteczne dla społeczności naukowej, ponieważ pomogą w zrozumieniu związku między teorią skończonej geometrii i kodowania. Ponadto mogą zostać wykorzystane jako punkt wyjścia do innych konstrukcji lub generalizacji. Powiązania z teorią kodowania znajdą zastosowanie w każdej dziedzinie związanej z przekazywaniem informacji i zabezpieczaniem przed błędami występującymi podczas transmisji.
Słowa kluczowe
Oprogramowanie do korekty błędów, komunikacja cyfrowa, obiekty geometryczne, geometria algebraiczna, teoria kodowania
