La geometria nei software di correzione degli errori
Gli oggetti geometrici possono essere visti come sistemi proiettivi o sistemi duali proiettivi di punti, e quindi corrispondono a tipi specifici di codici lineari. Tali codici sono profondamente coinvolti nel processo di trasmissione delle informazioni, come protezione contro gli errori che si verificano durante il processo. I codici di correzione d’errore lineari sono fondamentali per la trasmissione di informazioni digitali. Lo scopo del progetto FACE (Finite and algebraic geometry for error correction) riguarda lo studio e lo sviluppo di collegamenti tra teoria della codifica e oggetti geometrici non lineari negli spazi di Galois, utilizzando metodi teorici e computazionali. Lo studio si è focalizzato su particolari tipi di oggetti geometrici non lineari: archi (le controparti geometriche dei codici di correzione d’errore lineari), archi (n, r), e calotte. Sono stati pubblicati documenti a riguardo di codici funzionali derivanti da intersezioni di ipersuperfici algebriche di piccolo grado con una forma quadratica non singolare e in relazione a limiti sul numero di punti razionali di ipersuperfici algebriche su campi finiti. È stata presentata un’altra relazione relativa a configurazioni di iperpiani in spazi proiettivi finiti: tale argomento riguarda la determinazione delle parole in codice di piccolo peso nei codici di Reed-Muller. Il team ha inoltre studiato le famiglie infinite di piccoli archi completi in spazi proiettivi e archi (n,3) e (n,4) in piani proiettivi. Le famiglie di calotte complete in spazi proiettivi finiti sono state costruite con metodi di calcolo utilizzati per la costruzione di calotte complete in spazi proiettivi di 3 dimensioni. Le calotte sono state descritte anche utilizzando metodi algebrici e teorici. I ricercatori hanno studiato le famiglie di insiemi saturi all’interno di spazi proiettivi, utilizzando metodi probabilistici. I risultati di questo progetto saranno utili per la comunità scientifica al fine di comprendere in modo migliore il legame tra geometria finita e teoria della codifica e possono essere utilizzati come punto di partenza per altre costruzioni o generalizzazioni. Le connessioni con la teoria della codifica saranno rilevanti in qualsiasi campo relazionato alla comunicazione delle informazioni e alla protezione degli errori che si verificano durante la trasmissione.
Parole chiave
Software per la correzione di errori, comunicazione digitale, oggetti geometrici, geometria algebrica, teoria della codifica
