Geometrie in Fehlerkorrektur-Software
Geometrische Objekte können als projektive Systeme oder dual projektive Systeme von Punkten betrachtet werden und entsprechen daher bestimmten Arten von linearen Codes. Diese Codes sind stark am Übertragungsprozess von Informationen beteiligt, um sie vor Fehlern zu schützen, die während des Prozesses auftreten können. Linearen Fehlerkorrekturcodes sind von grundlegender Bedeutung bei der Übertragung von digitalen Informationen. Das Projekt FACE (Finite and algebraic geometry for error correction) hatte zum Ziel, Verbindungen zwischen Codierungstheorie und nichtlinearen geometrischen Objekten in Galois-Räumen mithilfe sowohl theoretischer als auch rechnerischer Methoden zu untersuchen und zu entwickeln. Die Untersuchung konzentrierte sich hauptsächlich auf bestimmte Arten von nicht-linearen geometrischen Objekten: Bögen (die geometrischen Pendants zu linearen Fehlerkorrekturcodes), (n,r)-Bögen und Caps. Das Projekt veröffentlichte Artikel zu Funktionscodes, die an den Kreuzungen von algebraischen Hyperflächen geringen Grades mit einem nicht-singulären Quadrik entstehen, und zu Grenzen für die Anzahl von rationalen Punkten von algebraischen Hyperflächen über endlichen Körpern. Ein weiterer Artikel zu Konfigurationen von Hyperebenen in endlichen Projektilen Räumen wurde vorgelegt: Dieses Thema steht im Zusammenhang mit der Bestimmung von Codewörtern von geringem Gewicht in Reed-Muller-Codes. Das Team untersuchte auch unendliche Familien von kleinen kompletten Bögen in projektiven Räumen und (n,3)-Bögen und (n,4)-Bögen in projektiven Ebenen. Mit Rechenmethoden, die für die Konstruktion von kompletten Caps in projektiven Räumen der Dimension 3 verwendet werden, wurden Familien von kleinen kompletten Caps in endlichen projektiven Räumen konstruiert. Die Caps wurden auch mit algebraischen und theoretischen Methoden beschrieben. Die Forscher untersuchten Familien von saturierenden Sätzen in projektiven Räumen mit probabilistischen Methoden. Die Ergebnisse dieses Projekts werden für die wissenschaftliche Gemeinschaft nützlich sein, um den Zusammenhang zwischen endlicher Geometrie und Codierungstheorie besser zu verstehen, und können als Ausgangspunkt für andere Konstruktionen oder Verallgemeinerungen verwendet werden. Verbindungen mit der Codierungstheorie werden in jedem Bereich im Kontext der Übermittlung von Informationen und des Schutzes vor Übertragungsfehlern relevant sein.
Schlüsselbegriffe
Fehler-Korrektur-Software, digitale Kommunikation, geometrische Objekte, algebraische Geometrie, Codierungstheorie