Geometría en software de corrección de errores
Los objetos geométricos se pueden ver como sistemas de proyección o sistemas de proyección dual de puntos y, por consiguiente, corresponden a tipos específicos de códigos lineales. Estos códigos están profundamente implicados en el proceso de transmisión de la información, para protegerla de errores que se producen durante el proceso. Los códigos lineales de corrección de errores son fundamentales para la transmisión de información digital. El objetivo del proyecto FACE (Finite and algebraic geometry for error correction) fue el estudio y desarrollo de relaciones entre la teoría de la codificación y los objetos geométricos no lineales en espacios de Galois, mediante métodos teóricos y de computación. El estudio se centró principalmente en tipos específicos de objetos geométricos no lineales: arcos (los equivalentes geométricos a los códigos lineales para corrección de errores), (n,r)-arcos y tapas. Se han publicado artículos derivados del proyecto sobre códigos funcionales que surgen de la intersección de hipersuperficies de pequeño grado con una cuádrica no singular y en contornos sobre el número de puntos racionales de hipersuperficies sobre campos finitos. Se ha presentado otro artículo para publicación sobre las configuraciones de hiperplanos en espacios proyectivos finitos. Este tema está relacionado con la determinación de palabras de código de peso reducido en códigos de Reed-Muller. El equipo también estudió las familias infinitas de arcos completos pequeños en espacios proyectivos y (n,3)-arcos y (n,4)-arcos en planos proyectivos. Se construyeron familias de pequeñas tañas completas en espacios proyectivos finitos con métodos computacionales utilizados para construir tapas completas en espacios proyectivos de dimensión 3. Las tapas también se han descrito mediante métodos algebraicos y teóricos. Los investigadores estudiaron familias de conjuntos saturados en espacios proyectivos utilizando métodos probabilísticos. Los resultados de este proyecto serán útiles para la comunidad científica, para comprender mejor la relación entre la geometría finita y la teoría de la codificación, y se pueden utilizar como punto de partida de otras construcciones o generalizaciones. Las relaciones con la teoría de la codificación serán importantes para cualquier campo relacionado con la comunicación de información y la protección frente a los errores que se producen durante la transmisión.
Palabras clave
Software de corrección de errores, comunicación digital, objetos geométricos, geometría algebraica, teoría de la codificación
