Des équations destinées aux systèmes fortement variables et aléatoires
En mathématique, un système non autonome est un système d'équations différentielles qui dépend explicitement de la variable, qui est souvent le temps. Ils relèvent souvent des sciences appliquées, mais ont été très peu explorés. Le projet QTFRDS (Qualitative theory of finite-time and random dynamical systems) visait à développer la théorie qualitative des systèmes dynamiques non autonomes (à savoir en fonction du temps, du hasard ou du contrôle). La théorie a connu un regain d'intérêt au cours des 20 dernières années, stimulé par les effets synergiques des disciplines qui ont été développées de façon relativement indépendante. Celles-ci comprennent les flux de produits topologiques altérés, les systèmes dynamiques aléatoires, les systèmes de contrôle et de dynamique à temps limité. Les développements technologiques et économiques ont engendré le besoin de traiter avec des systèmes très complexes. Les crises des marchés financiers, en partie dues à la défaillance des modèles pour faire face à la volatilité, et les phénomènes météorologiques liés au changement climatique, tels que El Nino, sont des exemples de processus dynamiques à fort impact économique qui nécessitent une meilleure maîtrise des mathématiques pour tenir compte des influences non autonomes. Le défi principal dans l'étude des phénomènes non autonomes est de comprendre le comportement dynamique souvent très compliqué en tant que problème scientifique et mathématique. Une des questions les plus fondamentales est de détecter les points critiques au niveau desquels le comportement dynamique des systèmes change. Ce projet visait à trouver la réponse mathématique à cette question, à savoir développer la théorie des bifurcations stochastiques. Le premier résultat significatif a été la caractérisation de la bifurcation stochastique en termes de pauses en équivalence topologique. Il s'agit d'une étape fondamentale vers une nouvelle théorie des bifurcations stochastiques. Le second résultat important de ce projet a concerné les contributions à la théorie de la forme normale des équations différentielles non autonomes. Celles-ci permettent la forme la plus simple des systèmes sous une relation équivalente à identifier et seront importantes pour comprendre le phénomène de bifurcation des systèmes non autonomes.
Mots‑clés
Variable, systèmes aléatoires, système non autonome, QTFRDS, systèmes dynamiques, théorie des bifurcations
