Gleichungen für stark zeitabhängige und zufällige Systeme
In der Mathematik ist ein nicht-autonomes System ein System von Differentialgleichungen, das explizit von der unabhängigen Variablen abhängt. Letztere ist in vielen Fällen die Zeit. Sie sind in der angewandten Wissenschaft oft relevant, wurden aber nur wenig erforscht. Das Projekt QTFRDS (Qualitative theory of finite-time and random dynamical systems) zielte darauf ab, die qualitative Theorie von nicht-autonomen (d.h. zeitabhängig, zufällig oder Steuerung) dynamischen Systeme zu entwickeln. Die Theorie erlebte in den letzten 20 Jahren ein erneuertes und stetig wachsendes Interesse, angeregt durch Synergieeffekte von Disziplinen, die sich relativ unabhängig voneinander entwickelt haben. Dazu gehören topologisch schiefe Produktströme, zufällige dynamische Systeme, Dynamik der endlichen Zeit und Steuerungssysteme. Technologische und wirtschaftliche Entwicklungen haben die Notwendigkeit geschaffen, sich mit sehr komplexen Systemen zu befassen. Die Krisen der Finanzmärkte, die teilweise vom Versagen von Modellen bei der Berücksichtigung von Volatilität und Wetterphänomenen im Zusammenhang mit dem Klimawandel, wie etwa El Nino, herrühren, sind Beispiele für dynamische Prozesse mit tiefgreifenden wirtschaftlichen Auswirkungen, die eine bessere Mathematik erfordern, um nicht autonome Einflüsse mit zu berücksichtigen. Die größte Herausforderung bei der Untersuchung von nicht autonomen Phänomenen besteht darin, das oft sehr komplizierte dynamische Verhalten sowohl als wissenschaftliches als auch als mathematisches Problem zu verstehen. Eine der grundlegenden Fragen ist es, kritische Punkte zu erfassen, wo sich das dynamische Verhalten von Systemen ändert. Ziel dieses Projekts war, die mathematische Antwort auf diese Frage zu finden - das heißt die stochastische Bifurkationstheorie zu entwickeln. Ein erstes wichtiges Ergebnis war die Charakterisierung der stochastischen Bifurkation in Bezug auf Unterbrechungen der topologischen Äquivalenz. Dies ist ein wichtiger Schritt in Richtung einer neuen Theorie der stochastischen Bifurkation. Das zweite Hauptergebnis dieses Projekts waren Beiträge zur normalen Formtheorie von nicht autonomen Differentialgleichungen. Diese ermöglichen es, dass die einfachste Form der Systeme unter einem gleichwertigen Verhältnis identifiziert werden kann, und werden für das Verständnis von Bifurkationsphänomenen von nicht autonomen Systemen wichtig sein.
Schlüsselbegriffe
Zeitabhängig, zufällige Systeme, nicht-autonomes System, QTFRDS, dynamische Systeme, Bifurkationstheorie
