Równania dla układów wysoce zależnych od czasu i układów losowych
W matematyce układ nieautonomiczny oznacza układ równań różniczkowych wyraźnie uzależniony od zmiennej niezależnej, którą często jest czas. Mają one przeważnie zastosowanie w naukach stosowanych, ale nie były badane na szeroką skalę. Celem projektu QTFRDS (Qualitative theory of finite-time and random dynamical systems) było opracowanie teorii jakościowej dynamicznych układów nieautonomicznych (tj. zależnych od czasu, losowych lub kontrolowanych). Ta teoria budzi stale rosnące zainteresowanie już od 20 lat, głównie w wyniku synergistycznego wpływu niezależnych dyscyplin, które rozwinęły się stosunkowo niedawno. Obejmują one topologiczne skośne przepływy produktów, dynamiczne układy losowe, dynamikę w czasie skończonym i układy kontrolowane. Ze względu na rozwój technologii i gospodarki konieczne jest obsługiwanie bardzo złożonych układów. Kryzysy na rynkach finansowych, wynikające częściowo z braku modeli uwzględniających zmienność, a także zjawiska pogodowe związane ze zmianami klimatu, takie jak huragan El Nino, są przykładami procesów dynamicznych o głębokim wpływie na gospodarkę, które wymagają lepszych równań matematycznych biorących pod uwagę czynniki nieautonomiczne. Głównym wyzwaniem w badaniu zjawisk nieautonomicznych jest zrozumienie często bardzo skomplikowanego dynamicznego zachowania, co stanowi zarówno problem naukowy, jak i matematyczny. Jedną z najbardziej podstawowych kwestii jest wykrywanie krytycznych punktów, w których zmienia się dynamiczne zachowanie układów. Celem projektu było znalezienie matematycznego rozwiązania tego problemu, tj. opracowanie stochastycznej teorii bifurkacji. Pierwszym znaczącym rezultatem było scharakteryzowanie stochastycznej bifurkacji pod względem naruszenia równoważności topologicznej. Jest to zasadniczy krok w kierunku nowej teorii stochastycznej bifurkacji. Drugim głównym wynikiem tego projektu jest wkład do teorii postaci normalnej nieautonomicznych równań różniczkowych. Umożliwiają one identyfikację najprostszych postaci układów w ramach relacji równoważnej i odegrają ważną rolę w zrozumieniu zjawisk bifurkacji układów nieautonomicznych.
