Equazioni per sistemi fortemente dipendenti dal tempo e casuali
In matematica, un sistema non autonomo è un sistema di equazioni differenziali che dipende in modo esplicito dalla variabile indipendente, spesso determinata dal tempo. Tali sistemi sono spesso rilevanti nella scienza applicata, ma sono stati sottoposti a pochi studi. Il progetto QTFRDS (Qualitative theory of finite-time and random dynamical systems) è nato con l’obiettivo di sviluppare la teoria qualitativa dei sistemi dinamici non autonomi (cioè dipendenti dal tempo, casuali o di controllo). In questo senso, la teoria ha sperimentato un rinnovato e crescente interesse negli ultimi 20 anni, stimolato dagli effetti sinergici relativi a discipline che si sono sviluppate in modo relativamente indipendente. Queste includono flussi di prodotto asimmetrico topologico, sistemi dinamici casuali, e sistemi di controllo e dinamica caratterizzati da tempo definito. Gli sviluppi tecnologici ed economici hanno generato la necessità di lavorare con sistemi molto complessi. La crisi dei mercati finanziari, parzialmente provocata dal fallimento dei modelli relativi a instabilità e fenomeni atmosferici legati ai cambiamenti climatici, come per esempio El Niño, sono esempi di processi dinamici con un profondo impatto economico, i quali richiedono una migliore matematica al fine di prendere in considerazione le influenze non autonome. La sfida principale nello studio dei fenomeni non autonomi riguarda la comprensione del comportamento dinamico, spesso molto complicato, come problema scientifico e matematico. Una delle questioni più importanti riguarda l’individuazione dei punti critici dove cambia il comportamento dinamico dei sistemi. Il progetto è nato con l’obiettivo di trovare la risposta matematica a tale problema, cioè allo sviluppo relativo alla teoria della biforcazione stocastica. Un primo risultato significativo è dato dalla caratterizzazione della biforcazione stocastica in termini di interruzioni di equivalenza topologica. Si tratta di un passo fondamentale verso una nuova teoria della biforcazione stocastica. Il secondo risultato principale di questo progetto è dato dai contributi alla teoria della forma normale delle equazioni differenziali non autonome. Tali contributi permettono che la forma più semplice dei sistemi sotto rapporto equivalente venga identificata e saranno importanti per la comprensione dei fenomeni di biforcazione relativi ai sistemi non-autonomi.
Parole chiave
Dipendente dal tempo, sistemi casuali, sistemi non autonomi, QTFRDS, sistemi dinamici, teoria delle biforcazioni
