Les cartes de mots dans la théorie des groupes
En théorie des nombres, le problème de Waring consiste à déterminer si, pour chaque entier naturel k, il existe un nombre s tel que tout entier positif soit la somme des puissances k-ièmes d'entiers positifs. Le théorème de Hilbert a apporté une réponse positive à cette question. Cependant, une découverte récente dans la théorie des groupes a révélé que l'on peut remplacer les puissances par des mots généraux, pour représenter des analogues non communicants. En outre, l'étude de mots groupes survient naturellement dans d'autres contextes comme le problème de Burnside et celui de Serre, et la théorie des groupes simples finis. Soit un mot w élément d'un groupe libre. Ce mot définit une carte de mots sur tout groupe G (en remplaçant des éléments de G par les variables de w), dont l'image est notée w(G). Le projet WORDS (Words and Waring type problems), financé par l'UE, a été lancé pour démontrer que dans diverses situations, w(G) est grand de diverses façons. Les travaux ont montré que pour tout mot w non trivial, et pour un groupe simple fini G assez grand, chaque élément est le produit de deux valeurs w. Les chercheurs ont aussi constaté que certaines cartes de mots sont subjectives sur tous les groupes simples finis, pas seulement les gros. Ils ont obtenu d'autres résultats, notamment concernant le comportement de cartes de mots sur certains groupes infinis. L'approche interdisciplinaire du projet a généré une grande variété de nouveaux résultats et méthodes qui devraient avoir un grand impact sur les mathématiques.
Mots‑clés
Cartes de mots, théorie des groupes, type de Waring, théorie des nombres, groupe simple fini, mathématiques
