Le mappe di parole nella teoria dei gruppi
Secondo la soluzione di Hilbert al problema di Waring nella teoria dei numeri, ogni numero intero è una somma di g(n) ennesime potenze. Tuttavia, una recente scoperta nella teoria dei gruppi ha rivelato che le potenze sono sostituite da parole generiche per rappresentare analoghi non comunicativi. Inoltre, lo studio di parole gruppo avviene naturalmente in altri contesti come ad esempio nei problemi di Burnside, nel problema di Serre e nella teoria dei gruppi semplici finiti. Una parola w è un elemento di un gruppo libero e definisce una mappa di parole in qualsiasi gruppo G (sostituendo elementi di G nelle variabili di w) la cui immagine è denotata da w(G). WORDS (Words and Waring type problems) era un progetto finanziato dall’UE avviato per dimostrare che in varie situazioni w(G) è grande in vari modi. Come risultato, il lavoro ha dimostrato che per ogni parola non banale w e ogni gruppo semplice finito sufficientemente grande G, ogni elemento è il prodotto di due valori w. Il team di ricerca ha anche scoperto che certe mappe di parole risultano soggettive su tutti i gruppi semplici, non solo su quelli grandi. Si sono ottenuti ulteriori risultati, tra cui quelli sul comportamento delle mappe di parole su determinati gruppi finiti. Questo approccio interdisciplinare ha prodotto un’ampia varietà di nuovi risultati e metodi che potrebbero avere un importante impatto sulla comunità della matematica.
Parole chiave
Mappe di parole, teoria di gruppi, tipo Waring, teoria dei numeri, gruppo semplice finito, matematica
