Mapy słów w teorii grup
Zgodnie z podejściem Hilberta do rozwiązania problemu Waringa w teorii liczb każda dodatnia liczba całkowita jest sumą g(n)-ntych potęg. Jednak niedawne odkrycie w dziedzinie teorii grup wykazało, że potęgi są zastępowane ogólnymi słowami reprezentującymi niekomunikacyjne analogi. Ponadto badania słów grup są naturalnie prowadzone w innych kontekstach, takich jak problemy Burnside'a, problemy Serre'a i teoria skończonej grupy prostej. Słowo w jest elementem wolnej grupy i określa mapę słów w dowolnej grupie G (poprzez zastąpienie elementów G w zmiennych w), których obraz jest określany przez w(G). Celem finansowanego ze środków UE projektu WORDS (Words and Waring type problems) było wykazanie, że w rożnych sytuacjach grupa w(G) jest duża na wiele sposobów. Wyniki projektu wykazały, że w przypadku każdego nietrywialnego słowa w oraz każdej wystarczająco dużej skończonej grupy prostej G każdy element jest iloczynem dwóch wartości w. Badacze odkryli również, że niektóre mapy słów okazują się subiektywne na wszystkich skończonych grupach prostych, nie tylko na dużych. Uzyskano dodatkowe wyniki, w tym dotyczące zachowania map słów na niektórych grupach nieskończonych. Takie interdyscyplinarne podejście umożliwiło wypracowanie wielu nowych wyników i metod, które mogą mieć ogromny wpływ na dziedzinę matematyki.
Słowa kluczowe
Mapy słów, teoria grup, typ Waringa, teoria liczb, skończona grupa prosta, matematyka
