Les surfaces minimales et la biophysique
Il existe deux types de surfaces minimales: les stables et les instables. Une surface minimale est dite stable si sa zone est la plus petite parmi des surfaces similaires au sein du même contour. En ce qui concerne les surfaces minimales instables, des variations, même minimes, peuvent réduire sa zone. Les mathématiciens travaillant au projet RSC AND RMCF (Rigidity of scalar curvature and regularity for mean curvature flow), financé par l'UE, se sont concentrés sur le second type. Les surfaces minimales instables paraissent intéressantes, mais, surtout, on n'en sait encore que très peu sur leurs propriétés. Les travaux de RCS AND RMCF étaient divisés en deux parties. Les mathématiciens ont tout d'abord prouvé l'existence de surfaces minimales instables simples sur des trois-sphères – des analogues de sphères en dimension supérieure – incurvées positivement. Ils ont alors découvert que la zone de telles surfaces minimales était courbée de manière optimale. La méthodologie développée pour prouver que, en plus des glomes, chaque trois-variété disposait d'un nombre infini de surfaces minimales instables, a été utilisée pour découvrir quelle forme torique était la moins courbée. Cette question avait été posée en 1965 par Thomas Willmore et restée, depuis, sans réponse. Le tore de Clifford semblait être le candidat le plus prometteur. Les mathématiciens ont découvert que cette sorte spéciale de tore placée au sein de l'unité trois-sphères dans l'espace euclidien de quatre dimensions recouvrait moins d'espace que toute famille de surface définie à cinq paramètres. Les résultats du projet ESC AND RMCF laissent penser que l'étude de surfaces minimales instables peut être une nouvelle orientation prometteuse d'exploration dans les analyses géométriques. La découverte de formes en équilibre a, de plus, des implications dans la recherche biophysique visant à expliquer la forme prise par les cellules sanguines humaines. Autre fait peu surprenant, les biophysiciens ont abouti indépendamment à l'hypothèse de Willmore selon laquelle le tore de Clifford était la dernière forme torique incurvée dans l'observation des vésicules toriques. Les questions encore sans réponse en géométrie devraient apparaître également dans différents contextes d'autres branches scientifiques.
Mots‑clés
Surfaces minimales, biophysique, RSC AND RMCF, courbure, trois-sphères, trois-variétés
