Powierzchnie minimalne a biofizyka
Istnieją dwa różne rodzaje powierzchni minimalnych: stabilne i niestabilne. Powierzchnię minimalną nazywa się stabilną, jeśli jej obszar jest najmniejszy pośród podobnych powierzchni o takim samym obrysie. W przypadku niestabilnej powierzchni minimalnej, nawet małe zmiany mogą zmniejszyć jej obszar. Matematycy pracujący nad finansowanym przez UE projektem RSC AND RMCF (Rigidity of scalar curvature and regularity for mean curvature flow) skupili się na drugim z tych dwóch rodzajów. Niestabilne powierzchnie minimalne wydawały się interesujące, a co ważniejsze do tej pory bardzo niewiele wiadomo o ich właściwościach. Prace w ramach projektu RSC AND RMCF podzielono na dwie części: Na początek matematycy udowodnili istnienie prostych niestabilnych powierzchni minimalnych na 3-sferach — odpowiednik sfery wyższego wymiaru — które są dodatnio zakrzywione. Następnie odkryli, że obszar takich powierzchni minimalnych jest ograniczony w optymalny sposób. Metodologia opracowana, aby udowodnić, że poza 3-sferami, dowolna 3-rozmaitość ma skończoną ilość niestabilnych powierzchni minimalnych, została wykorzystana do ustalenia, który toroidalny kształt jest najmniej zakrzywiony. To proste pytanie, które w 1965 roku postawił Thomas Willmore, pozostawało bez odpowiedzi. Torus Clifforda wydawał się najbardziej obiecującym kandydatem. Matematycy odkryli, że ten specjalny rodzaj torusa wewnątrz unitarnej 3-sfery w czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej zajmował mniej powierzchni niż jakakolwiek dowolna pięcioparametrowa rodzina powierzchni. Ustalenia projektu RSC AND RMCF sugerują, że badania niestabilnej powierzchni minimalnej stanowią obiecujący nowy kierunek badań w zakresie analizy geometrycznej. Ponadto, znalezienie kształtów w stanie równowagi ma implikacje dla badań biofizycznych mających na celu wyjaśnienie kształtu, który przyjmują komórki krwi ludzkiej. Jak można się było spodziewać, biofizycy niezależnie doszli do twierdzenia Willmore’a, że torus Clifforda jest najmniej zakrzywionym toroidalnym kształtem, prowadząc obserwacje toroidalnych pęcherzyków. Otwarte kwestie w geometrii powinny również pojawić się w różnych kontekstach innych dziedzin nauki.
Słowa kluczowe
Powierzchnie minimalne, biofizyka, RSC AND RMCF, krzywizna, 3-sfery, 3-rozmaitości
