Minimalflächen und die Biophysik
Minimalflächen kommen in zwei unterschiedlichen Arten vor: stabil und instabil. Eine Minimalfläche wird als stabil bezeichnet, wenn diese im Verhältnis zu ähnlichen Flächen mit der gleichen Kontur den kleinsten Flächenbereich aufweisen. Im Falle einer instabilen Minimalfläche können selbst kleinste Abweichungen deren Flächenbereich verringern. Die an dem EU-finanzierten Projekt RSC AND RMCF (Rigidity of scalar curvature and regularity for mean curvature flow) tätigen Mathematiker fokussierten sich auf die zweitgenannte Flächenart. Instabile Minimalflächen sind von Interesse, aber dennoch ist bislang nur sehr wenig über deren Eigenschaften bekannt. Die RSC-AND-RMCF-Arbeit wurde in zwei Teile gegliedert. Zunächst wiesen Mathematiker die Existenz einfacher instabiler Minimalflächen an 3-Sphären nach – eine höherdimensionale analoge Entsprechung einer Sphäre – die positiv gekrümmt sind. Dann wurde festgestellt, dass der Flächenbereich solcher Minimalflächen in optimaler Weise begrenzt wird. Die Methodologie, die entwickelt wurde, um zu bestätigen, dass abgesehen von Sphären jede 3-Mannigfaltigkeit eine unendliche Anzahl instabiler Minimalflächen aufweist, wurde verwendet, um herauszufinden, welche Ringform die geringste Krümmung aufweist. Diese simple Frage wurde 1965 von Thomas Willmore aufgeworfen und blieb bis heute unbeantwortet. Der Clifford-Torus erwies sich als vielversprechendster Kandidat. Mathematiker stellten fest, dass dieser spezielle Torus, der im Inneren der 3-Sphäre in den euklidischen Raum mit vier Dimensionen eingebettet ist, eine geringere Fläche als jede andere Flächenfamilie mit fünf Parametern aufweist. Die RSC-AND-RMCF-Erkenntnisse legen nahe, dass sich die Untersuchung instabiler Minimalflächen als vielversprechende neue Forschungsrichtung bei geometrischen Analysen erweisen könnte. Das Finden von Formen, die sich im Gleichgewicht befinden, hat zudem Implikationen für die Forschung im Bereich der Biophysik, welche auf eine Erklärung der Formannahme menschlicher Blutzellen abzielt. Folglich sind Biophysiker unabhängig voneinander durch Beobachtung ringförmiger Vesikel zu der Willmore-Vermutung gelangt, dass es sich dem Clifford-Torus um die Form mit den geringsten ringförmigen Krümmungen handelt. Es wird damit gerechnet, dass offene Fragen im Bereich der Geometrie auch in anderen Wissenschaftszweigen in unterschiedlichen Kontexten betrachtet werden.
Schlüsselbegriffe
Minimalflächen, Biophysik, RSC AND RMCF, Krümmung, 3-Sphären, 3-Mannigfaltigkeiten
