La géométrie de grands réseaux complexes
Les réseaux sociaux, le World Wide Web, Internet, les réseaux électriques et les interactions protéines-protéines ne sont que quelques exemples de réseaux complexes omniprésents au quotidien. Ils apparaissent sous la forme de déploiements de graphes de monde réel composés de nœuds autonomes. Au cours des vingt dernières années, les chercheurs ont tenté de produire des modèles reproducteurs capables de prédire les propriétés de ces graphes de monde réel. Citons, parmi les modèles répandus, des graphes à attachement préférentiel et des graphes hétérogènes aléatoires. Une équipe financée par l'UE a prouvé récemment que les graphes hyperboliques aléatoires modélisaient à la perfection des réseaux de monde réel. Le projet HYPERBOLIC GRAPHS (Hyperbolic random graphs) s'est axé principalement sur les simulations heuristiques et assistées par ordinateur. Son objectif était de démontrer de manière empirique et théorique que les graphes hyperboliques aléatoires captaient des propriétés typiques telles que la répartition au niveau de la loi de puissance et une agglomération élevée. Les chercheurs ont étudié d'autres propriétés pour développer une théorie mathématique pour cette classe de graphes aléatoires sur des espaces non euclidiens. Pour définir les paramètres, ils ont identifié les valeurs critiques de changements soudains dans la structure des graphes hyperboliques aléatoires. Les chercheurs ont également étudié la bootstrap percolation. Ce processus, issu de la physique statistique, est caractérisé par chaque nœud disposant de deux états possibles: infecté ou non infecté. Sur chaque tour, chaque nœud non infecté ayant au moins un voisin infecté devient et reste infecté. La classe de graphes hyperboliques aléatoires s'est avérée capable de disséminer une petite infection initiale à une grande partie du réseau. Les chercheurs ont déterminé le volume de l'infection initiale nécessaire à ce phénomène et ont comparé leurs résultats à ceux obtenus dans un paramétrage plus généralisé. Ils ont principalement observé les graphes hétérogènes aléatoires dans lesquels les poids sont placés sur chaque nœud et où toutes les arêtes apparaissent avec une probabilité proportionnelle au produit de ces poids. Ce modèle reproduit l'hétérogénéité observée dans les réseaux de monde réel. Avec ce paramétrage généralisé, les chercheurs ont déterminé le poids assurant une petite dissémination de l'infection initiale. Ils ont exploré des variantes plus réalistes de la bootstrap percolation lorsque la connaissance de l'état de tous les voisins de chaque nœud n'est pas supposée. Les résultats de HYPERBOLIC GRAPHS laissent penser qu'il existe réellement une valeur hyperbolique sous-jacente pour Internet et d'autres graphes de monde réel. Alors que les graphes hyperboliques aléatoires offrent une méthode élégante et rigoureuse pour la modélisation de grands réseaux complexes, des interrogations subsistent quant à ce modèle.
Mots‑clés
Réseaux complexes, graphes hyperboliques aléatoires, HYPERBOLIC GRAPHS, bootstrap percolation
