La geometria delle reti grandi e complesse
I social network, il World Wide Web, Internet, le reti elettriche e le interazioni proteina-proteina sono solo alcuni esempi di reti complesse, che sono onnipresenti nella vita quotidiana. Esse appaiono come una vasta struttura di grafi fisici, composti da nodi autonomi. Negli ultimi due decenni, i ricercatori hanno cercato di produrre modelli generativi in grado di prevedere le proprietà dei grafi fisici. I modelli più diffusi includono i grafi di collegamento preferenziale e i grafi casuali non omogenei. Di recente, un team finanziato dall’UE ha dimostrato che i grafi iperbolici casuali si prestano ottimamente alla modellazione di reti fisiche. Il progetto HYPERBOLIC GRAPHS (Hyperbolic random graphs) si basava principalmente sull’euristica e le simulazioni computerizzate. L’obiettivo era quello di mostrare empiricamente e teoricamente che i grafi iperbolici casuali catturano proprietà tipiche, come la legge di potenza della distribuzione del grado e il clustering elevato. I ricercatori hanno studiato ulteriori proprietà per sviluppare una teoria matematica per questa classe di grafi casuali su spazi non-euclidei. Per i parametri di definizione di tali modelli, sono stati identificati valori critici ai quali si verificano improvvisi cambiamenti nella struttura dei grafi iperbolici casuali. Inoltre, i ricercatori hanno studiato la percolazione bootstrap. Sviluppato nella fisica statistica, questo processo è caratterizzato dal fatto che ogni nodo presenta due stati possibili: infetto o non infetto. Ad ogni ciclo, ciascun nodo non infetto con almeno un vicino infetto diventa e rimane infetto. La classe dei grafi iperbolici casuali si è dimostrata in grado di diffondere una piccola infezione iniziale in una grande parte della rete. Importante è il fatto che i ricercatori hanno determinato la quantità di infezione iniziale necessaria perché questo fenomeno si verifichi, e confrontato i risultati con quelli ottenuti in un ambiente più generalizzato. In particolare, sono stati considerati grafi casuali non omogenei, dove pesi sono posti in ogni nodo e ogni bordo appare con una probabilità proporzionale al prodotto di questi pesi. Questo modello riproduce l’eterogeneità osservata nelle reti reali. In questa cornice generalizzata, i ricercatori hanno determinato i pesi che assicurano che si diffonde una piccola infezione iniziale. Sono state inoltre esplorate varianti più realistiche della percolazione bootstrap nelle quali si presume la non conoscenza dello stato di tutti i vicini di qualsiasi nodo. I risultati di HYPERBOLIC GRAPHS suggeriscono che ci sia davvero una metrica iperbolica sottostante a internet e ad altri grafi del mondo fisico. I grafi iperbolici casuali hanno dimostrato di offrire un modo elegante e rigoroso di modellare reti grandi e complesse, ma ci sono ancora domande, per quanto riguarda questo modello, che attendono una risposta.
Parole chiave
Reti complesse, grafi iperbolici casuali, HYPERBOLIC GRAPHS, percolazione bootstrap
