Die Geometrie großer, komplexer Netze
Soziale Netzwerke, das World Wide Web, das Internet, Stromnetze und Protein-Protein-Interaktionen sind nur ein paar Beispiele für komplexe Netze, die in unserem Alltag allgegenwärtig sind. Sie treten als eine umfassende Anordnung von Graphen der realen Welt in Erscheinung, die sich aus autonomen Knoten zusammensetzen. In den vergangenen beiden Jahrzehnten suchten Forscher danach, generative Modelle herzustellen, die in der Lage sind, Eigenschaften dieser Echtwelt-Graphen vorherzusagen. Zu beliebten Modellen zählen präferenzielle Anhangsgraphen und inhomogene Zufallsgraphen. Vor Kurzem zeigte ein EU-finanziertes Team, dass sich hyperbolische Zufallsgraphen bei der Modellierung von Echtwelt-Netzen hervortun. Das Projekt HYPERBOLIC GRAPHS (Hyperbolic random graphs) basierte in erster Linie auf heuristischen und computergestützten Simulationen. Das Ziel bestand darin, empirisch und theoretisch zu zeigen, dass hyperbolische Zufallsgraphen typische Eigenschaften wie die Potenzgesetzverteilung und ein hohes Clustering erfassen. Forscher untersuchten weitere Eigenschaften zur Entwicklung einer mathematischen Theorie für diese Klasse von Zufallsgraphen für nicht-euklidische Räume. Zur Definierung der Parameter dieser Modelle wurden kritische Werte identifiziert, bei denen plötzliche Änderungen in der Struktur hyperbolischer Zufallsgraphen auftreten. Ferner untersuchten Forscher die Bootstrap-Perkolation. Dieser Prozess, dessen Ursprung im Bereich der statistischen Physik liegt, zeichnet sich dadurch aus, dass jeder Knoten zwei mögliche Zustände aufweist: entweder infiziert oder nicht infiziert. Bei jedem Durchgang wird und bleibt jeder nicht infizierte Knoten mit mindestens einem infizierten Nachbarn infiziert. Über die Klasse hyperbolischer Zufallsgraphen konnte eine geringfügige ursprüngliche Infektion auf einen Großteil des Netzes ausgedehnt werden. Bedeutsamer Weise bestimmten die Forscher die Menge der ursprünglichen Infektion, die für das Auftreten dieses Phänomens erforderlich war und verglichen die Ergebnisse mit solchen, die bei einer allgemeineren Anordnung erzielt worden waren. Es wurden insbesondere inhomogene Zufallsgraphen berücksichtigt, wobei jeder Knoten um Gewichtungen ergänz wurde und jede Grenze eine Probabilität zeigt, die sich proportional zu dem Produkt dieser Gewichtungen verhält. Dieses Modell reproduziert die Inhomogenität, die bei Echtwelt-Netzen beobachtet wird. Bei der allgemeineren Anordnung bestimmten die Forscher die Gewichtungen, die sicherstellen, dass sich eine geringfügige ursprüngliche Infektion ausbreitet. Realistischere Varianten der Bootstrap-Perkolation, bei denen nicht von einem Wissen aller Nachbarn über jeden Knotenzustand ausgegangen worden war, wurden ebenfalls erforscht Die HYPERBOLIC-GRAPHS-Resultate legen nahe, dass es in der Tat eine hyperbolische Metrik gibt, die dem Internet und anderen Echtwelt-Graphen zugrundeliegt. Auch wenn sich hyperbolische Zufallsgraphen als elegante und rigorose Möglichkeit zur Modellierung großer und komplexer Netze erwiesen haben, gibt es nach wie vor offene Fragen hinsichtlich dieses Modells, die es zu beantworten gilt.
Schlüsselbegriffe
Komplexe Netze, hyperbolische Zufallsgraphen, HYPERBOLIC GRAPHS, Bootstrap-Perkolation
