Geometria dużych, złożonych sieci
Sieci społecznościowe, sieć WWW, Internet, sieci energetyczne oraz interakcje białko-białko stanowią zaledwie kilka przykładów złożonych sieci, które są wszechobecne w życiu codziennym. Mają one postać dużego układu grafów świata rzeczywistego, złożonych z niezależnych węzłów. Przez ostatnie dwadzieścia lat naukowcy pracowali nad stworzeniem modeli generatywnych zdolnych do przewidywania właściwości tych grafów świata rzeczywistego. Popularne modele obejmują grafy łączenia preferencyjnego i niejednorodne grafy losowe. Finansowany ze środków UE zespół badaczy wykazał, że hiperboliczne grafy losowe doskonale nadają się do modelowania sieci w świecie rzeczywistym. Projekt HYPERBOLIC GRAPHS (Hyperbolic random graphs) opierał się głównie na heurystycznych i wspomaganych komputerowo symulacjach. Celem projektu było wykazanie, empirycznie i teoretycznie, że hiperboliczne grafy losowe odzwierciedlają typowe właściwości, takie jak rozkład stopni prawa potęgowego i duża zdolność do tworzenia klastrów. Naukowcy badali kolejne właściwości w celu opracowania teorii matematycznej dla tej klasy grafów losowych w przestrzeniach nieeuklidesowych. W celu zdefiniowania parametrów tych modeli zidentyfikowano wartości krytyczne w miejscach, w których występują nagłe zmiany w strukturze hiperbolicznych grafów losowych. Ponadto naukowcy badali samopodtrzymującą się perkolację. Proces ten wywodzi się z fizyki statystycznej i charakteryzuje się tym, że każdy węzeł ma dwa możliwe stany: zainfekowany lub niezainfekowany. W każdej rundzie każdy niezainfekowany węzeł z co najmniej jednym zainfekowanym sąsiadem staje się i pozostaje zainfekowany. Wykazano, że klasa hiperbolicznych grafów losowych może rozprzestrzenić niewielką początkową infekcję w dużej części sieci. Co ważne, naukowcy określili natężenie początkowej infekcji, które było potrzebne do wywołania tego zjawiska, a wyniki porównali z wynikami uzyskanymi w bardziej uogólnionym układzie. Analizowali niejednorodne grafy losowe, w których przypisuje się wagi na każdym węźle, a każda krawędź charakteryzuje się prawdopodobieństwem proporcjonalnym do iloczynu tych wag. Ten model odtwarza niejednorodność obserwowaną w sieciach w świecie rzeczywistym. W takich zgeneralizowanych układach naukowcy określili wagi, które zapewniają rozprzestrzenianie się niewielkiej początkowej infekcji. Zbadali również bardziej realistyczne warianty samopodtrzymującej się perkolacji, w przypadku których nie zakłada się stanu wszystkich sąsiadów dowolnego węzła. Wyniki projektu HYPERBOLIC GRAPHS sugerują, że rzeczywiście istnieje bazowa hiperboliczna wartość metryczna, którą można zastosować do Internetu oraz innych grafów świata rzeczywistego. Chociaż hiperboliczne grafy losowe oferują elegancki i rygorystyczny sposób modelowania dużych i złożonych sieci, nadal istnieją pytania otwarte dotyczące tego modelu, na które należy znaleźć odpowiedź.
Słowa kluczowe
Sieci złożone, hiperboliczne grafy losowe, HYPERBOLIC GRAPHS, samopodtrzymująca się perkolacja
