Geometría de las grandes redes complejas
Las redes sociales, la Web, Internet, las redes de distribución eléctrica y las interacciones entre proteínas son solo algunos ejemplos de las redes complejas que se encuentran en todas partes en nuestra vida diaria. Aparecen como una amplia colección de grafos en el mundo real, constituidos por nodos autónomos. Durante las dos últimas décadas, los investigadores se han esforzado por elaborar modelos generadores capaces de predecir las propiedades de estos grafos del mundo real. Entre los modelos populares se encuentran los grafos de conexión preferencial y los grafos aleatorios inhomogéneos. Recientemente, un equipo financiado por la Unión Europea ha mostrado que los grafos aleatorios hiperbólicos destacan a la hora de modelizar las redes del mundo real. El proyecto HYPERBOLIC GRAPHS (Hyperbolic random graphs) se basaba principalmente en heurística y simulaciones asistidas por ordenador. Su finalidad era mostrar empírica y teóricamente que los grafos aleatorios hiperbólicos representan propiedades típicas, como la distribución de grados según una ley potencial y la alta agregación. Los investigadores estudiaron otras propiedades con el fin de desarrollar una teoría matemática para este tipo de grafos aleatorios en espacios no euclídeos. Para los parámetros que definen estos modelos, se identificaron valores críticos en los cuales se producen cambios súbitos en la estructura de los grafos aleatorios hiperbólicos. Además, los investigadores estudiaron la percolación de inicio. Este proceso procede de la física estadística y se caracteriza por que cada nodo tiene dos estados posibles: infectado o no infectado. En cada ronda, cada nodo no infectado que tenga por lo menos un vecino infectado se infecta y permanece infectado. Se demostró que la clase de grafos aleatorios hiperbólicos era capaz de extender una pequeña infección inicial a una gran parte de la red. Es importante destacar que los investigadores determinaron la cantidad de infección inicial necesaria para que se produzca este fenómeno y compararon los resultados con los que se obtienen en un entorno más generalizado. En particular, consideraron los grafos aleatorios inhomogéneos, en los cuales cada nodo tiene una ponderación asignada y en los que cada arco aparece con una probabilidad proporcional al producto de estos pesos. Este modelo reproduce la inhomogeneidad que se observa en las redes del mundo real. En este entorno generalizado, los investigadores determinaron los pesos que garantizan la extensión de una pequeña infección inicial. También se estudiaron variantes más realistas de la percolación de inicio, en las que no se asume que el estado de los vecinos de cualquier nodo sea conocido. Los resultados de HYPERBOLIC GRAPHS sugieren que realmente existe una métrica hiperbólica subyacente en Internet y en otros grafos del mundo real. Mientras que demostró que los grafos aleatorios hiperbólicos ofrecen una forma elegante y rigurosa de modelizar grandes redes complejas, todavía quedan cuestiones pendientes sobre este modelo.
Palabras clave
Redes complejas, grafos aleatorios hiperbólicos, HYPERBOLIC GRAPHS, percolación de inicio
