Des méthodes topologiques pour la dynamique et l'analyse des données
L'analyse topologique des données (ATD) est une nouvelle méthode pratique des mathématiques appliquées pour analyser des données volumineuses, incomplètes et bruitées en utilisant des techniques de topologie. L'homologie persistante est un outil technique clé de l'ATD, qui permet d'identifier les clusters, les trous et les vides dans les structures topologiques. Les recherches menées dans le cadre du projet PHIDM (Persistent homology - Images, data and maps), financé par l'UE, ont conduit à la mise au point de nouvelles méthodes pour étudier plus avant les caractéristiques topologiques des données. Grâce à l'analyse automatique des images 3D, il est possible de détecter rapidement des caractéristiques spécifiques et de classifier les images. En détectant de façon précoce les cellules cancéreuses ou d'autres anomalies, cette technique peut grandement bénéficier à l'imagerie biomédicale. Les nouveaux algorithmes et méthodes développés par le projet PHIDM, qui sont axés sur le calcul de structures topologiques sophistiquées, peuvent améliorer la précision et la fiabilité de l'analyse automatique des images. L'exploration de données est un processus informatique consistant à découvrir des structures intéressantes inconnues dans de grandes quantités de données. Les méthodes actuellement utilisées sont généralement basées sur des méthodes d'analyse statistique qui remontent au dix-huitième siècle. L'affinage des informations à partir de l'homologie persistante est un domaine interdisciplinaire relativement nouveau qui permet d'obtenir une bonne compréhension qualitative de l'ensemble des données. Les scientifiques ont étudié la possibilité d'utiliser l'homologie persistante pour l'analyse topologique de données biomédicales faiblement structurées (par exemple, les dossiers des patients) et de séries de données en cardiologie. Parmi les futures applications possibles, on peut citer la détection précoce des problèmes cardiologiques, ainsi que des programmes d'aide à la décision assistée par ordinateur pour le diagnostic et le traitement. Les systèmes dynamiques sont des modèles mathématiques décrivant un grand nombre de de phénomènes, tels que la croissance d'une population ou la propagation d'une maladie infectieuse. Une analyse algorithmique utilisant des concepts topologiques apporte une méthode automatique pour la détermination de caractéristiques robustes et la classification des comportements. Les recherches menées au sein du projet PHIDM ont conduit à élargir l'éventail des systèmes dynamiques pouvant être analysés automatiquement. Les chercheurs ont développé une homologie persistante appliquée à un modèle décrivant la propagation d'une maladie infectieuse entre deux régions reliées par une infrastructure de transport, montrant une dynamique complexe. Les méthodes nouvellement développées ont un large champ d'applications, comme les systèmes dynamiques modélisant les réactions chimiques, les modèles de croissance de populations animales ou végétales ou la physique théorique et appliquée.
Mots‑clés
Homologie persistante, analyse d'image, exploration de données, analyse topologique des données, systèmes dynamiques
