Metody topologiczne w analizie danych i układów dynamicznych
Topologiczna analiza danych (TDA) to nowa praktyczna metoda w dziedziny matematyki stosowanej, umożliwiająca analizowanie danych, które są wielowymiarowe, niekompletne i niedokładne, przy pomocy technik z zakresu topologii. Homologia uporczywa to ważne narzędzie techniczne dla TDA, pozwalające na identyfikację klastrów, dziur i pustych przestrzeni w strukturach topologicznych. Dzięki badaniom przeprowadzonym w ramach finansowanego ze środków UE projektu PHIDM (Persistent homology - Images, data and maps) powstały nowe metody umożliwiające dokładniejsze badanie topologicznych cech danych. Automatyczna analiza trójwymiarowych obrazów daje możliwość szybkiego wykrywania konkretnych cech i klasyfikacji obrazów. Metoda ta może przynieść ogromne korzyści obrazowaniu biomedycznemu, pomagając we wczesnym wykrywaniu komórek nowotworowych i innych anomalii. Nowe algorytmy i metody opracowane w projekcie PHIDM koncentrowały się na obliczaniu zaawansowanych struktur topologicznych i mogą zwiększać dokładność i niezawodność automatycznej analizy obrazów. Eksploracja danych to proces obliczeniowy polegający na odkrywaniu nieznanych prawidłowości w dużych zbiorach danych. Aktualnie stosowane metody opierają się głównie na metodach analizy statystycznej, powstałych w XVIII wieku. Udoskonalanie informacji pochodzących z homologii uporczywej to stosunkowo nowa interdyscyplinarna dziedzina, która pomaga w jakościowym zrozumieniu całego zbioru danych. Naukowcy badali możliwość wykorzystania homologii uporczywej do analizy homologicznej słabo uporządkowanych danych biomedycznych (np. danych pacjentów) i zbiorów danych kardiologicznych. W przyszłości mogą one znaleźć zastosowanie na przykład we wczesnym wykrywaniu problemów kardiologicznych, a także komputerowych programach do diagnostyki i leczenia. Układy dynamiczne to modele matematyczne opisujące różnorodne zjawiska, takie jak wzrost liczebności populacji czy rozprzestrzenianie się choroby zakaźnej. Analiza algorytmiczna wykorzystująca koncepcje topologiczne pozwala na stworzenie automatycznych metod określania solidnych cech i klasyfikacji zachowań. Badania przeprowadzone w projekcie PHIDM pozwoliły na poszerzenie spektrum układów dynamicznych, do których można stosować automatyczną analizę. Opracowano homologię uporczywą zastosowaną w modelu opisującym rozprzestrzenianie się choroby zakaźnej w dwóch regionach połączonych infrastrukturą transportową, co pozwoliło na ukazanie złożonej dynamiki. Nowe metody mogą znaleźć zastosowanie w wielu dziedzinach, od układów dynamicznych modelujących reakcje chemiczne przez modele wzrostu liczebności populacji zwierząt i roślin po fizykę teoretyczną i stosowaną.
Słowa kluczowe
Uporczywa homologia, analiza obrazów, eksploracja danych, topologiczna analiza danych, układy dynamiczne
