Topologische Methoden für Dynamik und Datenanalyse

In unterschiedlichsten wissenschaftlichen Disziplinen häufen sich immer schneller immer größere Datenmengen an, was die Extraktion von wertvollen Informationen zu einer echten Herausforderung macht. Ein EU-finanziertes Projekt trug zur Entwicklung und Anwendung von topologischen Methoden (einschließlich der persistenten Homologie) für die digitale Bildanalyse, Data Mining und die numerische Analyse von dynamischen Systemen bei.

Digitale Wirtschaft

Die topologische Datenanalyse (TDA) ist eine neue praktische Methode in der angewandten Mathematik, mit der hochdimensionale Daten, unvollständige und verrauschte Daten mithilfe von Techniken aus der Topologie analysiert werden. Die persistente Homologie ist ein zentrales technisches Werkzeug der TDA, mit der Cluster, Löcher und Hohlräume in topologischen Strukturen identifiziert werden. Die Forschungen im Rahmen des EU-geförderten Projekts PHIDM(öffnet in neuem Fenster) (Persistent homology - Images, data and maps) führten zur Entwicklung neuer Methoden für eine weitere Untersuchung der topologischen Eigenschaften von Daten. Die automatische Analyse von 3D-Bildern ermöglicht eine schnelle Erkennung von bestimmten Merkmalen und Klassifikation der Bilder. Dies kann in der biomedizinischen Bildgebung für die Früherkennung von Krebszellen oder anderen Anomalien erhebliche Vorteile bringen. Die neuen von PHIDM entwickelten Algorithmen und Methoden konzentrierten sich auf die Berechnung von erweiterten topologischen Strukturen und könnten Genauigkeit und Zuverlässigkeit der automatischen Analyse von Bildern verbessern. Data Mining ist ein computergestützter Prozess für die Identifizierung interessanter Muster in großen Datensätzen. Derzeit verwendete Methoden basieren typischerweise auf statistischen Analysemethoden, die bereits im 18. Jahrhundert entstanden. Das Verfeinern von Informationen aus der persistenten Homologie ist ein relativ neues interdisziplinäres Gebiet, mit dem sich ein gutes qualitatives Verständnis des gesamten Datensatzes gewinnen lässt. Die Wissenschaftler untersuchten die Möglichkeit, persistente Homologie für die topologische Analyse von schwach strukturierten biomedizinischen Daten (z.B. Aufzeichnungen zu Patienten) und kardiologischen Datenreihen zu verwenden. Mögliche zukünftige Anwendungen umfassen die Früherkennung von kardiologischen Problemen sowie computergestützte Entscheidungshilfeprogramme für Diagnose und Behandlung. Dynamische Systeme sind mathematische Modelle, die eine Vielzahl von Phänomenen beschreiben, etwa das Wachstum einer Population oder die Ausbreitung einer infektiösen Krankheit. Die algorithmische Analyse mithilfe topologischer Konzepte bietet ein automatisches Verfahren für die Bestimmung von robusten Funktionen und Verhaltensweisen. Die Forschungen von PHIDM führten zur Erweiterung des Spektrums von dynamischen Systemen, auf die die automatische Analyse angewendet werden kann. Entwickelt wurde die Anwendung von persistenter Homologie auf ein Modell zur Beschreibung der Ausbreitung einer Infektionskrankheit zwischen zwei verkehrstechnisch miteinander verbundenen Regionen, um die komplexe Dynamik darzustellen. Die neu entwickelten Methoden haben ein breites Spektrum an möglichen Anwendungen: von dynamischen Systemen für die Modellierung chemischer Reaktionen über Modelle des Popolationswachstums von Tieren oder Pflanzen bis hin zur theoretischen und angewandten Physik.