Matemáticas de las simetrías cuánticas
La geometría de la mecánica clásica es, principalmente, geometría diferencial en variedades de dimensiones finitas, fibrados y grupos de Lie. Su papel destacado se debe a la capacidad de tratar con objetos definidos de forma invariante. Por otra parte, el lenguaje matemático estándar de la teoría cuántica había sido distinto del de la geometría durante mucho tiempo. En los últimos años, para poder desarrollar las nuevas ideas introducidas en la teoría cuántica ha sido necesario adoptar técnicas basadas en el álgebra, la geometría y la topología. La mayoría de modelos cuánticos proceden de la cuantización de los sistemas clásicos y, por consiguiente, heredan sus propiedades geométricas. El objetivo global del proyecto FGQ (The future of geometric quantisation), financiado por la Unión Europea, era generalizar la forma en que se relacionan la cuantización geométrica y las simetrías clásicas y cuánticas entre sí. Los científicos querían demostrar que la cuantización es conmutable con la reducción en sistemas con espacios de fase no compactos y grupos de simetría. Prescindir de la asunción de compacidad planteó varios problemas matemáticos. El índice de un operador de Dirac de una variedad no compacta deja de estar bien definido y es necesario trabajar con la teoría de la representación de un grupo no compacto, mucho más complicada. Una solución para este problema fue sustituir las representaciones por clases correspondientes en la teoría K de la C*-álgebra del grupo de simetría pertinente. Los científicos de FGQ ampliaron resultados anteriores a clases de teoría K de representaciones generales que incluían representaciones de grupos semisimples complejos. Además, se obtuvieron resultados específicos para las representaciones en casos en los que el espacio de órbitas de una acción de un grupo no es compacto. El principio de que la cuantización es conmutativa con la reducción se generalizó a las acciones de grupos no compactos sobre variedades simplécticas con espacios de órbitas no compactos, como la acción de un grupo de Lie no compacto sobre su fibrado cotangente. Además, en la mayoría de los resultados obtenidos se permitían espacios reducidos singulares. Entre los resultados más importantes de FGQ se encuentra la generalización del principio de reducción de variedades simplécticas no compactas a variedades de espín C no compactas. Se han realizado unos primeros pasos hacia la cuantización geométrica no compacta mediante la integración de la geometría simpléctica y la teoría de la representación.
Palabras clave
Simetría cuántica, cuantización geométrica, grupo de Lie, FGQ, teoría K
