Die Mathematik der Quantensymmetrien
Die Geometrie der klassischen Mechanik besteht hauptsächlich aus der Differentialgeometrie finitdimensionaler Mannigfaltigkeiten, Faserbündeln und Lie-Gruppen. Ihre große Bedeutung geht darauf zurück, dass es möglich ist, sich mit invariant definierten Objekten auseinanderzusetzen. Die übliche mathematische Sprache der Quantentheorie unterschied sich allerdings lange Zeit von der Geometrie. In den vergangenen Jahren wurden über neue Ideen im Bereich der Quantentheorie fortschrittliche geometrische Methoden ins Spiel gebracht, die auf Algebra, Geometrie und Topologie basieren. Die meisten Quantenmodelle gehen auf die Quantisierung klassischer Systeme zurück und beinhalten dementsprechend deren geometrische Eigenschaften. Das oberste Ziel des EU-finanzierten Projekts FGQ (The future of geometric quantisation) bestand darin, die Art und Weise der Verknüpfung zwischen klassischen Symmetrien und Quantensymmetrien durch geometrische Quantisierung zu generalisieren. Wissenschaftler zielten darauf ab, zu beweisen, dass die Quantisierung bei Systemen mit nicht-kompakten Phasenräumen und Symmetriegruppen mit einer Reduktion einhergeht. Das Aufstellen der Annahme zur Kompaktheit warf große mathematische Schwierigkeiten auf. Der Index von einem Dirac-Operator bei einer nicht kompakten Mannigfaltigkeit ist nicht mehr gut definiert und es muss mit der weitaus komplizierten Darstellungstheorie einer nicht-kompakten Gruppe gearbeitet werden. Eine Lösung für diese Probleme bestand darin, Darstellungen durch entsprechende Klassen in der K-Theorie über die C*-Algebra der relevanten Symmetriegruppe zu ersetzen. Die FGQ-Wissenschaftler erweiterten bisherige Ergebnisse auf K-Theorie-Klassen allgemeiner Darstellungen. Hierzu zählten Darstellungen komplexer halbeinfacher Gruppen. Darüber hinaus wurden explizite Ergebnisse für Darstellungen in Fällen erzielt, in denen der Orbitraum der Gruppenwirkung nicht kompakt ist. Das Prinzip, dass die Quantisierung mit einer Reduktion einhergeht, wurde für Wirkungen nicht-kompakter Gruppen auf symplektische Mannigfaltigkeiten mit nicht-kompakten Orbiträumen verallgemeinert, so zum Beispiel die Wirkung einer nicht-kompakten Lie-Gruppe an deren Kotangentialbündel. Außerdem waren bei den meisten Ergebnissen singuläre reduzierte Räume zulässig. Zu den wichtigsten Ergebnissen von FGQ zählte die Verallgemeinerung des Reduktionsprinzips von nicht kompakten symplektischen Mannigfaltigkeiten auf nicht-kompakte Spin-C-Mannigfaltigkeiten. Durch die Miteinbeziehung symplektischer Geometrie und Dastellungstheorie wurden die ersten Schritte im Bereich der nicht-kompakten geometrischen Quantisierung gemacht.
Schlüsselbegriffe
Quantensymmetrie, geometrische Quantisierung, Lie-Gruppe, FGQ, K-Theorie
