Matematyka symetrii kwantowych
Geometria mechaniki klasycznej opiera się przede wszystkim na geometrii różniczkowej rozmaitości skończenie wymiarowych, wiązkach włóknistych i grupach Liego. Jej główną zaletą jest możliwość zastosowania do niezmienniczo zdefiniowanych obiektów. Z drugiej strony w teorii kwantowej nie używano dotąd języka geometrii. W ostatnich latach nowe idee w zakresie teorii kwantów przyczyniły się do opracowania zaawansowanych metod geometrycznych bazujących na algebrze, geometrii i topologii. Większość modeli kwantowych powstało w wyniku kwantyzacji układów klasycznych, dziedzicząc w ten sposób ich własności geometryczne. Celem finansowanego przez UE projektu FGQ (The future of geometric quantisation) było uogólnienie sposobu, w jaki kwantyzacja geometryczna wiąże ze sobą symetrie klasyczną i kwantową. Badacze chcieli udowodnić, że w przypadku układów z niezwartą przestrzenią fazową i grup symetrycznych kwantyzacja i redukcja są przemienne. Odejście od założenia zwartości stworzyło nowe problemy matematyczne. Indeks operatora Diraca w rozmaitości niezwartej nie jest już dobrze zdefiniowany, zaś obliczenia wymagają o wiele bardziej skomplikowanej teorii reprezentacji grup niezwartych. Rozwiązaniem tych problemów jest zastąpienie reprezentacji odpowiednimi klasami K-teorii C*-algebr odpowiadających grup symetrii. Uczestnicy projektu FGQ rozszerzyli poprzednie wyniki o klasy K-teorii reprezentacji uogólnionych, w tym reprezentacji zespolonych grup półprostych. Dodatkowo udało się uzyskać dokładne wyniki dla reprezentacji w przypadku, gdy przestrzeń orbit działania grupy nie jest zwarta. Zasada, że kwantyzacja jest przemienna z redukcją, została uogólniona do działań grup niezwartych na rozmaitościach symplektycznych z niezwartymi przestrzeniami orbit, takich jak działania niezwartych grup Liego na własnych wiązkach kostycznych. Ponadto w większości uzyskanych wyników dopuszczalne są zredukowane przestrzenie singularne. Do najważniejszych odkryć projektu FGQ należy uogólnienie reguły redukcji niezwartych rozmaitości symplektycznych do niezwartych spinC rozmaitości. Pierwszy etap niezwartej geometrycznej kwantyzacji został zakończony integracją geometrii symplektycznej z teorią reprezentacji.
Słowa kluczowe
Symetria kwantowa, kwantyzacja geometryczna, grupa Liego, FGQ, K-teoria
