La matematica della simmetria quantistica
La geometria della meccanica classica è principalmente differenziale con varietà caratterizzate da dimensioni limitate, fibrati e gruppi di Lie. Il suo ruolo principale riguarda la possibilità di trattare oggetti definiti. D’altra parte, il linguaggio matematico standard della meccanica quantistica è sempre stato diverso da quello della geometria. Negli ultimi anni, le nuove idee introdotte nella teoria quantistica hanno chiamato in gioco avanzate tecniche geometriche basate su ambiti quali algebra, geometria e topologia. La maggior parte dei modelli quantistici provengono dalla quantizzazione di sistemi classici e, pertanto, ne ereditano le proprietà geometriche. L’obiettivo generale del progetto FGQ (The future of geometric quantisation), finanziato dall’UE, era quello di generalizzare il modo in cui la quantizzazione geometrica offre relazioni tra la simmetria classica e quantistica. Gli scienziati hanno mirato a dimostrare che tale quantizzazione commuta tramite riduzione per i sistemi con spazi delle fasi non compatti e gruppi di simmetria. L’abbandono del presupposto di compattezza pone gravi difficoltà matematiche. L’indice di un operatore di Dirac su una varietà non compatta non è più ben definito, dunque nasce il bisogno di lavorare con la complicata teoria di rappresentazione di un gruppo di non-compatto. Una soluzione a questi problemi è stata data dalla sostituzione delle rappresentazioni con classi corrispondenti nella K-teoria della C*-algebra relativa al gruppo di simmetria pertinente. Gli scienziati del progetto FGQ hanno esteso i risultati precedenti alle classi K-teoria delle rappresentazioni generali. Si trattava di rappresentazioni di gruppi semi-semplici complessi. Inoltre, sono stati ottenuti risultati espliciti per le rappresentazioni nei casi in cui lo spazio d’orbita dell’azione di gruppo non è compatto. Il principio per il quale la quantizzazione commuta mediante riduzione è stato generalizzato alle azioni dei gruppi non compatti su varietà simplettiche con spazi d’orbita non compatti, come per esempio l’azione di un gruppo di Lie non compatto sul proprio fibrato cotangente. Inoltre, nella maggior parte dei risultati ottenuti sono stati ammessi spazi singolari ridotti. Tra i più importanti risultati del progetto FGQ vi è la generalizzazione del principio di riduzione da varietà simplettiche non compatte a varietà non compatte di spinC. I primi passi nella quantizzazione geometrica non compatta sono stati effettuati attraverso l’integrazione tra geometria simplettica e teoria della rappresentazione.
Parole chiave
Simmetria quantistica, quantizzazione geometrica, gruppo di Lie, FGQ, K-teoria
