Nichtkommutative Strukturen in der Quantenphysik
In der Quantenphysik ist der Ansatz oft der, dass Wissenschaftler auf klassische beobachtbare Größen zurückgreifen und Formeln aufschreiben, die implizieren, dass diese Größen nicht kommutativ sind. Hierdurch wird eine Algebra definiert, die gemeinhin als „Algebra der Observablen“ bezeichnet werden kann. C*-Algebren sind eine Möglichkeit, die Ergebnisse dieses Prozesses zu präzisieren. Bestimmte Quantenfeldtheorien beispielsweise lassen viele unterschiedliche Vakuumzustände zu. Jedes Vakuum wird durch Operatoren im Hilbertraum als andere Observable der C*-Algebra repräsentiert. Anders gesagt, existiert jeder Vakuumzustand in einem anderen Hilbertraum. Ungeachtet der zahlreichen Erfolge aufgrund von C*-Algebren ist es erforderlich, dass Physiker mehr über die vielen Repräsentationen wissen. Im Rahmen des EU-finanzierten Projekts OPERADYNADUAL(öffnet in neuem Fenster) (Operator algebras and single operators via dynamical properties of dual objects) haben Mathematiker Operatoralgebren auf Grundlage dynamischer Daten konstruiert. Das Team entwickelte eine neue mathematische Sprache sogenannter C*-Präkategorien, die zu allgemeinen Konstrukten führen, welche die erfolgreichsten Konstrukte dieser Art erweitern. Dies beinhaltet Cuntz-Pimsner- und Nica-Toeplitz-Algebren, die mit C*-Entsprechungen assoziiert sind. C*-Entsprechungen mit kommutativen Algebren repräsentieren Graphen, die den Weg für eine detaillierte Untersuchung der entsprechenden C*-Algebren ebnen. Eines der zentralen Ergebnisse des Projekts war insbesondere die Entwicklung einer Graphentheorie, die dual zu C*-Entsprechungen mit nichtkommutativen Algebren ist. Darüber hinaus führte das OPERADYNADUAL-Team mithilfe einer vollständig positiven Abbildung, die relativ zu einer idealen C*-Algebra ist, Überkreuzprodukte einer C*-Algebra ein. Wenn diese kommutativ sind, beinhalten diese C*-Algebren, die mit Operatoren und topologischen Verhältnissen assoziiert sind. Die neuen mathematischen Konstrukte sollen neue Forschungslinien eröffnen. Die neue entwickelten, innovativen Analysemethoden werden zudem große Auswirkungen auf eine Vielzahl potenzieller Anwendungsmöglichkeiten haben, die über die Theorie der Operator-Algebren und Quantenphysik hinausreicht.
Schlüsselbegriffe
Nichtkommutative Struktur, Quantenphysik, C*-Algebra, OPERADYNADUAL, Operatoralgebra
