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Superar la limitación de soluciones finitas para números enteros del último teorema de Fermat

Los matemáticos han tratado de resolver durante siglos el último teorema de Fermat utilizando únicamente números naturales. Por primera vez, un equipo de científicos financiado con fondos europeos ha ampliado este sistema numérico para incluir sistemas numéricos más grandes con valores exóticos.

Investigación fundamental

Los números naturales (números enteros positivos) no siempre son suficientes para resolver un problema. Durante siglos, los matemáticos se han percatado de este hecho al tratar de resolver el último teorema de Fermat, que plantea que no existen tres números enteros positivos (x, y, z) que puedan verificar la ecuación xn + yn = zn para cualquier valor entero n > 2. Este postulado aparentemente sencillo ha sido el problema sin resolver más famoso de las matemáticas y ha desesperado a cientos de matemáticos durante más de trescientos cincuenta años desde que el abogado y matemático aficionado Pierre de Fermat lo garabateara en el margen de una copia de la «Arithmetica» de Diofanto. Las ecuaciones diofánticas, cuyo nombre fue otorgado en honor de Diofanto de Alejandría, son combinaciones de variables, exponentes y coeficientes como, por ejemplo, 3x + 7y = 1 o x3 + y3 = z3. Desde la antigüedad, los matemáticos han sabido cómo desarrollar combinaciones de números enteros para resolver ecuaciones diofánticas con dos variables y sin exponentes mayores de dos. El registro más remoto conocido proviene de Plimpton 322, una tablilla de arcilla babilónica que se cree que fue escrita alrededor del 1800 a. C. La tablilla fue descubierta en 1920 y contiene quince filas de ternas pitagóricas. «Una terna pitagórica consta de tres números enteros (x,y,z) que forman los lados de un triángulo rectángulo. La ecuación diofántica correspondiente es x2 + y2 = z2», comenta Samir Siksek, coordinador del proyecto GalRepsDiophantine, financiado por las acciones Marie Skłodowska-Curie. «La conjetura de Fermat implica que, si se eleva el valor del exponente por encima de dos, entonces la ecuación es totalmente diferente de las ternas pitagóricas».

La magnífica demostración de Wiles

El único supuesto que Fermat logró demostrar de su teorema y que aún perdura inmutable es el caso n = 4. Leonhard Euler encontró una prueba para n = 3, y Sophie Germain demostró el último teorema de Fermat para un conjunto muy grande de exponentes primos n. La demostración completa fue lograda por el matemático británico Andrew Wiles en 1995, que se basó en tres conceptos de la teoría de números, a saber, las curvas elípticas, las formas modulares y las representaciones de Galois. «En los años ochenta del siglo pasado, Gerhard Frey propuso una relación sorprendente entre la conjetura de Fermat y un concepto complejo denominado conjetura de modularidad para curvas elípticas. Frey presuponía con vehemencia que las curvas elípticas en el campo de los números racionales no son modulares. Años más tarde, se demostró la no modularidad de Frey. Wiles corroboró el último teorema de Fermat al ejemplificar el caso semiestable de la conjetura de la modularidad», comenta Siksek. La demostración de Wiles predice que la representación residual de Galois de esa curva elíptica deriva de un conjunto computable finito de representaciones modulares de Galois.

La solución de Wiles es una pieza de un rompecabezas mucho más grande

Si bien Wiles logró resolver la conjetura de Fermat sobre el cuerpo de los números racionales, el método de demostración para muchos otros problemas diofánticos (incluida la ecuación de Fermat sobre campos numéricos) es insuficiente. «Los estudios modernos abordan también las ecuaciones diofánticas sobre otros sistemas numéricos. Incluso se puede elucubrar sobre torres de sistemas numéricos, donde los números son cada vez más abundantes. Es natural preguntarse si las ideas de Frey, Wiles y otros que permitieron lograr la magnífica demostración del último teorema de Fermat pueden revelar pistas respecto a la ecuación de Fermat sobre un conjunto de campos numéricos infinito pero de dimensiones arbitrariamente grandes», aduce Siksek. «Nuestro estudio ha sido el primero en considerar la ecuación de Fermat para torres que contienen sistemas de números infinitos. En concreto, logramos demostrar el último teorema de Fermat asintótico sobre las capas de la extensión Z2 de los números racionales», concluye Siksek, que trabajó junto con Nuno Freitas, beneficiario de una beca Marie Skłodowska-Curie. Los resultados de proyectos pueden consultarse aquí.

Palabras clave

GalRepsDiophantine, Wiles, ecuaciones diofánticas, curvas elípticas, último teorema de Fermat, representaciones de Galois, números racionales, conjetura de modularidad, número entero

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