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Galois Representations and Diophantine Problems

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Aufhebung der Beschränkungen der nur ganzzahligen Lösungen für Großen Fermatschen Satz

Jahrhundertelang hat sich die Mathematik daran versucht, den Großen Fermatschen Satz nur mit natürlichen Zahlen zu lösen. Erstmalig hat nun ein EU-finanziertes Wissenschaftsteam dieses Zahlensystem auf größere Zahlensysteme mit exotischen Werten erweitert.

Grundlagenforschung

Nicht immer reichen die natürlichen Zahlen (die positiven ganzen Zahlen) zur Lösung eines Problems aus. Das erkannte die Mathematik durchaus, als sich über Jahrhunderte hinweg kluge Männer und Frauen am Beweis des Großen Fermatschen Satzes versuchten, der besagt, dass keine drei positiven ganzen Zahlen x, y und z die Gleichung xn + yn = zn für einen beliebigen ganzzahligen Wert n > 2 erfüllen können. So wurde diese einfache Aussage zum berühmtesten ungelösten Problem der Mathematik. Sie raubte mehr als 350 Jahre lang Schwärmen von Mathematikbegeisterten den Schlaf, seit der Jurist und Hobbymathematiker Pierre de Fermat sie an den Rand seiner Ausgabe der „Arithmetica“ von Diophantos kritzelte. Die nach Diophantos von Alexandria benannten diophantischen Gleichungen kombinieren Variablen, Exponenten und Koeffizienten, wie zum Beispiel 3x + 7y = 1 oder x3 + y3 = z3. Bereits seit der Antike war der Mathematik bekannt, wie ganze Zahlen zusammenzustellen sind, um diophantische Gleichungen mit zwei Variablen und keinen Exponenten größer als zwei zu lösen. Die älteste bekannte Aufzeichnung stammt von der babylonischen Keilschrifttafel Plimpton 322, von der angenommen wird, dass sie ungefähr 1800 v. u. Z. geschrieben wurde. Die 1920 entdeckte Tontafel beinhaltet 15 verschiedene pythagoreische Tripel. „Ein pythagoräisches Tripel ist ein Tripel aus natürlichen Zahlen (x,y,z), welche die Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bilden können. Die entsprechende diophantische Gleichung lautet x2 + y2 = z2“, erklärt Samir Siksek, Koordinator des Projekts GalRepsDiophantine, das im Rahmen der Marie-Skłodowska-Curie-Maßnahmen finanziert wurde. „Die Fermatsche Vermutung impliziert, dass sich die Gleichung grundlegend von den pythagoräischen Tripeln unterscheidet, wenn der Wert des Exponenten auf über 2 erhöht wird.“

Wiles und sein monumentaler Durchbruch

Der einzige Fall seines Satzes, den Fermat tatsächlich bewiesen hat und der bestätigt wurde, ist der Fall n = 4. Leonhard Euler fand einen Beweis für n = 3, und Sophie Germain bewies den Großen Fermatschen Satz für eine sehr große Menge von Primzahlexponenten n. Den vollständigen Beweis fand erst 1995 der britische Mathematiker Andrew Wiles. Er stützte sich auf drei Konzepte der Zahlentheorie: elliptische Kurven, modulare Formen und Galois-Darstellungen. „In den 1980ern schlug Gerhard Frey eine verblüffende Verbindung zwischen der Fermatschen Vermutung und einer tiefgründigen Idee vor, die er die Modularitätsvermutung für elliptische Kurven nannte. Frey vermutete stark, dass elliptische Kurven über dem Feld der rationalen Zahlen nicht modular sind. Diese Nichtmodularität wurde nur wenig später bewiesen. Wiles bewies den Großen Fermatschen Satz, indem er den Beweis für den semistabilen Fall der Modularitätsvermutung erbrachte“, erläutert Siksek. Der Beweis von Wiles sagt voraus, dass sich die restliche Galois-Darstellung dieser elliptischen Kurve aus einer endlichen berechenbaren Menge von modularen Galois-Darstellungen herleitet.

Wiles-Lösung als Teil von etwas viel Größerem

Während es Wiles gelang, Fermats Vermutung über die Rationalen zu lösen, ist die Beweisstrategie für viele andere diophantische Probleme (einschließlich der Fermat-Gleichung über Zahlenfelder) unzureichend. „Moderne Untersuchungen konzentrieren sich auch auf diophantische Gleichungen, die andere Zahlenbereiche einbeziehen. Man kann sogar über turmartige Zahlenbereiche nachdenken, in denen die Zahlen immer zahlreicher werden. Es liegt die Frage nahe, ob die Ideen von Frey, Wiles und anderen, die zu dem verblüffenden Beweis des Großen Fermatschen Satzes hinführten, Hinweise auf die Fermat-Gleichung über eine unendliche Familie von Zahlenfeldern beliebig großer Dimensionen liefern können“, gibt Siksek zu bedenken. „Unsere Studie war die erste, die sich mit der Fermat-Gleichung für Türme befasst hat, die unendlich viele Zahlenbereiche beinhalten. Im Einzelnen ist es uns gelungen, den asymptotischen Großen Fermatschen Satz über die Schichten der Z2-Erweiterung der Rationalen zu beweisen“, schließt Siksek, der mit dem Marie-Skłodowska-Curie-Stipendiaten Nuno Freitas zusammenarbeitete. Die Projektergebnisse wurden im Internet veröffentlicht.

Schlüsselbegriffe

GalRepsDiophantine, Wiles, diophantische Gleichungen, elliptische Kurven, Großer Fermatscher Satz, Galois-Darstellungen, Rationale, Modularitätsvermutung, ganze Zahl

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