Skip to main content

Galois Representations and Diophantine Problems

Article Category

Article available in the folowing languages:

Usunięcie ograniczenia o rozwiązaniach wyłącznie całkowitych dla wielkiego twierdzenia Fermata

Przez stulecia matematycy próbowali dowieść wielkiego twierdzenia Fermata wyłącznie dla liczb naturalnych. Naukowcy finansowani ze środków unijnych rozpoczęli od rozszerzenia tego systemu liczbowego, aby objąć nim liczniejsze systemy zawierające liczby o bardziej egzotycznych wartościach.

Badania podstawowe

Czasami liczby naturalne (dodatnie liczby całkowite) to zbyt mało, by rozwiązać dany problem. Matematycy zrozumieli to, gdy przez kilka stuleci borykali się z próbami dowiedzenia prawdziwości wielkiego twierdzenia Fermata mówiącego, że żadne trzy dodatnie liczby całkowite x, y i z nie mogą spełnić równania xn + yn = zn dla dowolnej liczby całkowitej n > 2. To proste stwierdzenie stało się najsłynniejszym otwartym problemem w matematyce. Prześladowało ono rzesze matematyków przez ponad 350 lat, odkąd prawnik i matematyk amator Pierre de Fermat zapisał je na marginesie egzemplarza „Arytmetyki” Diofantosa. Równania diofantyczne, nazwane tak na cześć Diofantosa z Aleksandrii, to kombinacje zmiennych, wykładników i współczynników, takich jak 3x + 7y = 1 lub x3 + y3 = z3. Od czasów starożytnych matematycy potrafili skutecznie szukać kombinacji liczb całkowitych, które stanowiłyby rozwiązania równań diofantycznych z dwiema niewiadomymi i bez wykładników wyższych niż dwa. Najstarszy znany zapis pochodzi z tabliczki Plimptona 322, babilońskiej glinianej tabliczki, która została prawdopodobnie zapisana około 1800 roku p.n.e. Tabliczka, która została odkryta w 1920 roku, zawiera 15 rzędów trójek pitagorejskich. „Trójka pitagorejska to trzy liczby całkowite (x, y, z), które odpowiadają długościom boków trójkąta prostokątnego. Równanie diofantyczne dla tego problemu to x2 + y2 = z2”, zauważa Samir Siksek, koordynator projektu GalRepsDiophantine finansowanego w ramach działania „Maria Skłodowska-Curie”. „Hipoteza Fermata zakłada, że jeśli wartość wykładnika przekroczy 2, to równanie będzie zasadniczo różniło się od trójek pitagorejskich”.

Monumentalny przełom w osobie Wilesa

Jedyny dowiedziony faktycznie przez Fermata przypadek jego twierdzenia, który przetrwał do naszych czasów, to dowód dla n = 4. Leonhard Euler przeprowadził dowód dla n = 3, a Sophie Germain dowiodła wielkiego twierdzenia Fermata dla bardzo dużego zbioru wykładników pierwszych n. Kompletny dowód został przedstawiony w 1995 roku przez brytyjskiego matematyka Andrew Wilesa. Bazował on na trzech koncepcjach dotyczących teorii liczb: krzywych eliptycznych, formach modularnych i reprezentacjach Galois. „W latach 80. XX w. Gerhard Frey zaproponował zadziwiające powiązanie między hipotezą Fermata a głęboką ideą zwaną hipotezą o modularności dla krzywych eliptycznych. Frey żywił głębokie przekonanie, że krzywe eliptyczne nad ciałem liczb wymiernych nie są modularne. Niemodularność Freya została udowodniona kilka lat później. Wiles udowodnił wielkiego twierdzenia Fermata, dowodząc przypadku hipotezy o modularności dla krzywych półstabilnych”, wyjaśnia Siksek. Dowód Wilesa przewiduje, że rezydualna reprezentacja Galois tej krzywej eliptycznej pochodzi ze skończonego, przeliczalnego zbioru modularnych reprezentacji Galois.

Dowód Wilesa to element znacznie większej układanki

Wprawdzie Wilesowi udało się rozstrzygnąć hipotezę Fermata nad ciałem liczb wymiernych, lecz ta strategia dowodzenia nie wystarczy do rozwiązania pozostałych problemów diofantycznych (w tym równania Fermata nad ciałem liczbowym). „Współczesne badania nad równaniami diofantycznymi są prowadzone również w innych systemach liczbowych. To całe wieże systemów liczbowych, w których liczby są coraz liczniejsze. Naturalnie człowiek zaczyna się zastanawiać, czy koncepcje Freya, Wilesa i innych, które doprowadziły do powstania fascynującego dowodu wielkiego twierdzenia Fermata, mogą zawierać wskazówki prowadzące do dowiedzenia równania Fermata nad nieskończoną rodziną ciał liczbowych o dowolnie wielu wymiarach”, wyjaśnia Siksek. „Nasze badanie było pierwszym, w którym zajęto się równaniem Fermata dla wież zawierających nieskończone systemy liczbowe. W szczególności udało nam się udowodnić asymptotyczne wielkie twierdzenie Fermata na warstwach rozszerzenia Z2 zbioru liczb wymiernych”, podsumowuje Siksek, który współpracował z Nuno Freitasem, stypendystą działania „Maria Skłodowska-Curie”. Wyniki projektu opublikowano tutaj.

Słowa kluczowe

GalRepsDiophantine, Wiles, równania diofantyczne, krzywe eliptyczne, wielkie twierdzenie Fermata, reprezentacje Galois, liczby wymierne, hipoteza o modularności, liczba całkowita

Znajdź inne artykuły w tej samej dziedzinie zastosowania