Rimozione delle restrizioni delle sole soluzioni a numeri interi nell’ultimo teorema di Fermat Per secoli, i matematici hanno cercato di risolvere l’ultimo teorema di Fermat utilizzando solo numeri naturali. Per la prima volta, un team di scienziati finanziati dall’UE ha ampliato questo sistema numerico sino a includere sistemi numerici più grandi, con valori insoliti. Ricerca di base © Gorodenkoff, Shutterstock I numeri naturali (interi positivi) non sono sempre sufficienti per risolvere un problema. Nel corso dei secoli, i matematici si sono resi conto di questo quando hanno cercato di risolvere l’ultimo teorema di Fermat, il quale afferma che nessun numero intero positivo tra x, y e z può soddisfare l’equazione xn + yn = zn per qualsiasi valore intero n > 2. Questa semplice affermazione divenne il problema aperto più famoso in matematica, tormentando schiere di matematici per oltre 350 anni da quando l’avvocato e matematico dilettante Pierre de Fermat la scarabocchiò a margine di una copia dell’«Aritmetica» di Diofanto. Le equazioni diofantee, che prendono il nome da Diofanto di Alessandria, sono combinazioni di variabili, esponenti e coefficienti, come 3x + 7y = 1 o x3 + y3 = z3. Sin dai tempi antichi, i matematici hanno saputo elaborare combinazioni di numeri interi per risolvere equazioni diofantee con due variabili e nessun esponente maggiore di due. Il documento più antico conosciuto proviene da Plimpton 322, una tavoletta di argilla babilonese che si ritiene sia stata scritta intorno al 1800 a.C. La tavoletta, scoperta nel 1920, contiene 15 linee di terne pitagoriche. «Una terna pitagorica è una terna di numeri interi (x, y, z) che formano i lati di un triangolo rettangolo. La corrispondente equazione diofantea è x2 + y2 = z2», osserva Samir Siksek, coordinatore del progetto GalRepsDiophantine, finanziato nell’ambito del programma Marie Skłodowska-Curie. «La congettura di Fermat implica che se si supera il valore dell’esponente 2, l’equazione è fondamentalmente diversa dalle terne pitagoriche». Il rivoluzionario momento di svolta di Wiles L’unico caso del teorema di Fermat effettivamente dimostrato e sopravvissuto intatto è il caso n = 4. Leonhard Euler ha trovato una dimostrazione per n = 3, e Sophie Germain ha dimostrato l’ultimo teorema di Fermat per un insieme molto ampio di esponenti primi n. Il matematico britannico Andrew Wiles trovò la dimostrazione completa nel 1995. Essa si basava su tre concetti nella teoria dei numeri, vale a dire curve ellittiche, forme modulari e rappresentazioni di Galois. «Negli anni ’80, Gerhard Frey propose un collegamento sorprendente tra la congettura di Fermat e un’idea profonda chiamata congettura di modularità per curve ellittiche. Frey sospettava fortemente che le curve ellittiche sul campo dei numeri razionali non fossero modulari. La non modularità di Frey è stata dimostrata pochi anni dopo. Wiles ha dimostrato l’ultimo teorema di Fermat con il caso semistabile della congettura di modularità», approfondisce Siksek. La dimostrazione di Wiles prevede che la rappresentazione di Galois residua di quella curva ellittica provenga da un insieme computabile finito di rappresentazioni di Galois modulari. La soluzione di Wiles è un pezzo di un puzzle molto più grande Mentre Wiles è riuscito a risolvere la congettura di Fermat sui razionali, la strategia di dimostrazione per molti altri problemi diofantei (inclusa l’equazione di Fermat sui campi numerici) è insufficiente. «Gli studi moderni si concentrano anche sulle equazioni diofantee rispetto ad altri sistemi di numerazione. Si può anche pensare a torri di sistemi di numerazione, in cui i numeri stanno diventando sempre più abbondanti. È naturale chiedersi se le idee di Frey, Wiles e altri che hanno portato alla sorprendente dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat possano rivelare indizi sull’equazione di Fermat su una famiglia infinita di campi numerici di dimensioni arbitrariamente grandi», spiega Siksek. «Il nostro studio è stato il primo a considerare l’equazione di Fermat per torri contenenti sistemi di numerazione infiniti. In particolare, siamo riusciti a dimostrare l’asintotico ultimo teorema di Fermat sugli strati dell’estensione Z2 dei razionali», conclude Siksek, che ha collaborato con Nuno Freitas, borsista del programma Marie Skłodowska-Curie. I risultati del progetto sono pubblicati qui. Parole chiave GalRepsDiophantine, Wiles, equazioni diofantee, curve ellittiche, ultimo teorema di Fermat, rappresentazioni di Galois, razionali, congetture di modularità, numero intero
