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Intersection algorithms for geometry based IT-applications using approximate algebraic methods

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Algebraische Geometrie als Inspirationsquelle für Konstrukteure

CAD-Tools (Computer Aided Design) ermöglichen die Automatisierung vieler Aspekte bei der Entwicklung technischer und architektonischer Lösungen. Mithilfe effizienter und leistungsfähiger Algorithmen und entsprechender Softwarestrukturen, die im Rahmen des GAIA II-Projektes entwickelt wurden, ist eine verbesserte zwei- und dreidimensionale Modellierung möglich.

Digitale Wirtschaft

Durch Manipulation einfacher Formen wie Linien, Kreisen, Kurven, Polygonen und Rechtecken können Konstrukteure realistische Modelle fester Objekte entwerfen. CAD-Tools ermöglichen die Kombination einfacher Formen zu komplexeren Baugruppen mithilfe von Verbindungs-, Schnitt- und Difference-Operationen. Die parametrische Beschreibung fester Objekte mithilfe rechteckiger nicht-uniformer rationaler B-Spline-Oberflächen (NURBS), die sich dieselben Grenzen teilen, wird mit äußerst stabilen numerischen Algorithmen implementiert. Andererseits bieten eingeschlossene Darstellungen basierend auf algebraischer Geometrie attraktive Alternativen für die Rekonstruktion von Oberflächen aus unstrukturierten Punktwolken ohne die Annahme, dass ursprünglich eine Datenparametrisierung erfolgt ist. Die im Rahmen des europäischen GAIA II-Projektes entwickelten numerischen Methoden ermöglichen die gleichzeitige Verfügbarkeit beider Darstellungen, was für die Berechnung von Oberflächenschnittpunkten gewünscht ist. Um das gesamte Potential beider Darstellungen für anspruchsvolle Anwendungen zu nutzen, bei denen sich Oberflächen parallel oder beinahe parallel schneiden, wurden für die Umwandlung Näherungsmethoden bevorzugt. Weiterhin wurden numerische Techniken für die näherungsweise Umwandlung exakt definierter Oberflächen in parametrische und umgekehrt als Prototyp eines Software-Toolkit implementiert. Hierbei wurden rekursive Subdivision und Implizitisierung kombiniert. Neben der Unterstützung der Identifikation aller Abzweigungen des Schnittpunktes mit einer benutzerdefinierten Toleranz ermöglicht dieser experimentelle Code die Verbesserung der Schnittpunktkurven auf die erforderliche Genauigkeit. Forschungsarbeiten an den SINTEF ICT-Laboren in Norwegen haben sich auf CAD-Operationen wie Offsetting und Blending konzentriert, die Oberflächenschnittpunkte mit Singularitäten erzeugen. Die Kombination der beiden Darstellungen bietet die Möglichkeit, nicht nur Singularitäten zu erkennen, sondern auch "Self-Intersections", die entfernt werden müssen, um die Korrektheit des Modells zu gewährleisten. Da der gewählte Ansatz auf industrielle Anwendungen ausgelegt ist, sollte die Eignung der Algorithmen sowie die Stabilität des Software-Toolkit weitergehend erforscht werden.

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