Los problemas de las matemáticas puras
La geometría estudia la forma y las propiedades de objetos matemáticos, mientras que la topología trata principalmente sobre las propiedades que se mantienen inalteradas después de que estos objetos experimenten deformaciones continuas. La noción de variedad expresa la idea de un espacio curvo que simplemente parece plano en regiones locales pequeñas. Estas regiones o subvariedades son construcciones geométricas para analizar variedades denominadas foliaciones u hojas. El proyecto Extgeomfol («Fórmulas integrales y geometría extrínseca de las foliaciones»), financiado por la Unión Europea, estudió las propiedades geométricas de las foliaciones de estos objetos y sus relaciones con la topología. Se investigaron estas propiedades en profundidad utilizando métodos de análisis geométrico, teorías topológicas y simulaciones por ordenador. El resultado principal fue el desarrollo de tres nuevas herramientas de investigación: flujo geométrico extrínseco (EGF), fórmulas integrales (IF) y fórmulas variacionales (VF), así como sus aplicaciones para resolver problemas matemáticos de foliaciones. Las IF son útiles para resolver problemas geométricos complejos con objetos adecuados. Esto incluye la definición de sus curvaturas medias de orden superior y la minimización de su volumen y energía según vienen definidas por sus campos vectoriales o planos. No obstante, el resultado más importante es el EGF, que es una herramienta para definir las propiedades geométricas de determinados objetos. Para emplearla es necesario usar las VF, que representan un cambio en las diferentes magnitudes geométricas de estos objetos bajo determinadas condiciones. En el pasado, entre las aplicaciones de los problemas de matemáticas puras estaba el envío seguro de información mediante técnicas de cifrado y otros medios de «codificación» y «descodificación» para comprobar y corregir errores en el procesamiento de las señales y la transmisión de datos. Los logros técnicos del proyecto han abierto el camino a formas de generar nuevos conocimientos sobre temas relevantes en el campo de las matemáticas puras.