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Integral formulae and extrinsic geometry of foliations

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Die Probleme der Reinen Mathematik

Eine EU-finanzierte Untersuchung entwickelte neue Methoden zur Lösung komplexer geometrischer Probleme mit vollkommen abstrakten Konzepten.

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Die Geometrie befasst sich mit den Formen und Eigenschaften mathematischer Körper, während es bei der Topologie hauptsächlich um die Eigenschaften geht, die nach einer Verformung nicht verändert werden. Mit dem Begriff Mannigfaltigkeit wird ein gewölbtes Objekt bezeichnet, das in kleinen, lokalen Bereichen flach aussieht. Bei diesen Bereichen bzw. Untermannigfaltigkeiten handelt es sich um geometrische Mengen zur Analyse von Mannigfaltigkeiten, die Blätterungen oder Blätter. Im Rahmen des EU-finanzierten Projekts "Integral formulae and extrinsic geometry of foliations" (Extgeomfol) wurden die geometrischen Eigenschaften der Blätterungen solcher Objekte und deren Zusammenhang mit der Topologie untersucht. Diese Eigenschaften wurden mithilfe geometrischer Analysemethoden, topologischer Theorien und Computersimulationen ausführlich untersucht. Das wichtigste Ergebnis war die Entwicklung dreier neuartiger Forschungstools: etxrinsischer geometrischer Fluss (EGF), Integralformeln (IF), Variationsformeln (VF) und deren Anwendung zur Lösung mathematischer Probleme zu Blätterungen. Die IF können zur Lösung komplexer geometrischer Probleme von entsprechenden Objekten genutzt werden. Dies beinhaltet die Bestimmung ihrer höheren mittleren Krümmungen und die Minderung des Volumens und der Energie ihrer Vektor- oder Ebenenfelder. Das wichtigste Resultat ist jedoch EGF, ein Tool zur Definition der geometrischen Eigenschaften bestimmter Objekte. Für dessen Verwendung sind die VF notwendig, die eine Veränderung der verschiedenen geometrischen Eigenschaften dieser Objekte unter bestimmten Bedingungen wiedergeben. In der Vergangenheit wurden in Anwendungen zur Lösung von Problemen der Reinen Mathematik Informationen mithilfe von Verschlüsselungsverfahren und andere Möglichkeiten zur "Kodierung" und "Dekodierung" sicher gesendet, um Fehler bei der Signalverarbeitung und dem Datentransfer aufzudecken und zu korrigieren. Die technischen Errungenschaften des Projekts machen den Weg für die Generierung neuen Wissens in für die Reine Mathematik relevanten Bereichen frei.

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