Le problème des mathématiques pures
La géométrie concerne la forme et les propriétés d'objets mathématiques, alors que la topologie touche principalement les propriétés qui ne changent pas après la déformation continue de tels objets. La notion d'un ensemble capture l'idée d'un espace courbé qui semble plat dans des petites régions locales. Ces régions ou sous-ensembles sont des dispositifs géométriques pour l'analyse des collecteurs appelés foliations ou feuilles. Le projet de recherche Extgeomfol («Integral formulae and extrinsic geometry of foliations») financé par l'UE étudiait les propriétés géométriques des foliations de ces objets et leur relation avec la topologie, à l'aide de méthodes d'analyse géométrique, de théories topologiques et de simulations informatiques. Les principaux résultats étaient le développement de trois instruments de recherche innovants: le débit géométrique extrinsèque (EGF, de l'anglais extrinsic geometric flow), les formules intégrales (IF, de l'anglais integral formulae) et les formules variations (VF, de l'anglais variation formulae) ainsi que leurs applications pour résoudre des problèmes mathématiques sur les foliations. Les IF permettent de résoudre des problèmes géométriques complexes concernant des objets appropriés. Il s'agit notamment de définir les courbures moyennes les plus élevées et de minimiser leur volume et énergie comme défini pour leur vecteur ou les champs à surface plane. Cependant, le résultat le plus important est l'EGF, un outil permettant de définir les propriétés géométriques de certains objets. Il faut utiliser les VF pour qu'il fonctionne, ce qui représente un changement dans les différentes quantités géométriques de ces objets dans des conditions prédéfinies. Auparavant, les applications pour des problèmes purement mathématiques comprenaient l'envoi d'informations en toute sécurité à l'aide de techniques de cryptage et d'autres moyens de codage ou décodage pour contrôler et corriger les erreurs de traitement des signaux et de transmissions des données. Les exploits techniques du projet ouvrent la voie à la génération de nouvelles connaissances sur des thèmes connexes au domaine des mathématiques pures.