Problemi di matematica pura
La geometria riguarda la forma e le proprietà degli oggetti matematici, mentre la topologia riguarda principalmente le proprietà che rimangono immutate dopo la deformazione continua di tali oggetti. La nozione di varietà differenziabile cattura l'idea di uno spazio curvo che sembra semplicemente piano in piccole regioni locali; queste regioni, o sottovarietà differenziabili, rappresentano accorgimenti geometrici per analizzare le varietà differenziabili denominate foliazioni o foglie. Con il progetto di ricerca Extgeomfol ("Integral formulae and extrinsic geometry of foliations"), finanziato dall'UE, sono state studiate le proprietà geometriche delle foliazioni di tali oggetti e le loro relazioni con la topologia; queste proprietà sono state analizzate approfonditamente tramite metodi di analisi geometrica, teorie topologiche e simulazioni computerizzate. Il risultato principale consiste nello sviluppo di tre nuovi strumenti di ricerca, flusso geometrico estrinseco (EGF), formule integrali (IF) e formule di variazione (VF), assieme alle relative applicazioni per la soluzione di problemi matematici sulle foliazioni. Le formule integrali sono utili per la soluzione di problemi geometrici complessi relativi a determinati oggetti, compresa la definizione delle loro maggiori curvature principali e la minimizzazione del volume e dell'energia definiti per i loro campi piani o vettoriali. Il risultato importante, tuttavia, è l'EGF, uno strumento per la definizione delle proprietà geometriche di determinati oggetti; per utilizzarlo, è necessario adoperare le formule VF, che rappresentano un cambiamento nelle differenti quantità geometriche di questi oggetti in determinate condizioni. In passato, le applicazioni per problemi di matematica pura erano utilizzate per l'invio sicuro di informazioni attraverso tecniche di crittografia e altri mezzi di "codifica" e "decodifica" per il controllo e la correzione degli errori nell'elaborazione dei segnali e nella trasmissione dei dati; i risultati tecnici del progetto, tuttavia, spianano la via per l'approfondimento delle conoscenze su argomenti pertinenti al campo della matematica pura.