Las álgebras de Lax aportan nuevas herramientas a la topología
La topología es una importante rama de las matemáticas dedicada a las propiedades que se conservan cuando un objeto se transforma de forma continua. Este tipo de transformaciones incluyen la deformación, pero no las posibilidades de que los objetos transformados se disgreguen ni se peguen. En topología, dos funciones continuas se llaman homotópicas si una de ellas se puede transformar de forma continua para convertirla en la otra. Este tipo de transformación se llama homotopía entre las dos funciones. Las álgebras de Lax permiten abordar de forma unificada las estructuras fundamentales principales de la topología. El proyecto Laxalghomotop («Álgebras de Lax en la teoría de la homotopía») contribuye al avance en esta área aprovechando los vínculos existentes entre las álgebras de Lax y la teoría de la homotopía categórica: la teoría de los locales, la teoría de categorías de alta dimensión, la teoría de modelos, la teoría de la convergencia, la teoría de la filiación y otros conceptos matemáticos avanzados. Como resultado, la abstracción que permiten las álgebras de Lax proporcionará un punto de referencia para el desarrollo de generalizaciones de las teorías homotópicas, que van de la interpretación métrica a la uniforme. Antes de iniciar el proyecto, el trabajo sobre mónadas adjuntas por orden y los objetos inyectivos realizado por los receptores de la subvención había demostrado la potencia de usar las mónadas para abordar la topología mediante la descripción de los objetos inyectivos de las álgebras de Lax. Teniendo en cuenta que la inyectividad es un tema importante en la teoría de la homotopía, este trabajo sentó las bases del proyecto actual. Ahora, esta forma de aproximación al tema se ha llevado un paso más allá mediante la demostración de que las estructuras monádicas están implícitas en categorías de las álgebras de Lax. El teorema principal permite tratar de forma sistemática los resultados de monadicidad, lo cual conecta casos específicos mencionados en la bibliografía con los resultados nuevos y sugiere posibles desarrollos con la teoría de la homotopía dirigida. A juzgar por los primeros logros del proyecto, se espera que la teoría de las mónadas se convierta en una herramienta de gran importancia en el desarrollo de modelos de unificación en entornos topológicos. Esto proporcionará a la Unión Europea un activo matemático vital.
