Lax-Algebren erbringen neue Werkzeuge für die Topologie
Die Topologie ist ein großes Teilgebiet der Mathematik und befasst sich mit Eigenschaften, die unveränderlich sind, wenn Objekte kontinuierlichen Verformungen unterliegen. Zu diesen Verformungen gehört das Dehnen und Stauchen, jedoch kein Zerreißen oder Kleben der verformten Objekte. In der Topologie werden zwei stetige Funktionen als homotop bezeichnet, wenn die eine kontinuierlich in die andere überführt werden kann. Eine derartige Deformation nennt man eine Homotopie zwischen den beiden Funktionen. Lax-Algebren gestatten einen vereinheitlichten Ansatz für die grundlegenden Hauptstrukturen der Topologie. Das EU-finanzierte Projekt "Lax algebras in homotopy theory" (Laxalghomotop) leistet Beiträge zur Weiterentwicklung dieses Bereichs, indem Verknüpfungen zwischen Lax-Algebren und der Homotopie-Kategorientheorie erforscht werden: die theory of locales, höherdimensionale Kategorietheorie Modelltheorie, Konvergenztheorie, Abstammungstheorie und andere Themen der höheren Mathematik. Im Gegenzug schafft die durch Lax-Algebren erlaubte Abstraktion einen Bezugspunkt für die Entwicklung verallgemeinerter Homotopietheorien, die von metrisch bis hin zu einheitlichen Interpretationen reichen. Im Vorfeld des Projekts demonstrierte die Arbeit des Stipendiaten an geordneten adjungierten Monaden und injektiven Objekten die Macht des monadischen Ansatzes an die Topologie durch Beschreibung der injektiven Objekte der Lax-Algebren. Da die Injektivität ein wichtiges Thema der Homotopietheorie ist, legte diese Arbeit den Grundstein für das vorliegende Projekt. Man verfolgte diesen Ansatz nun noch einen Schritt weiter, indem demonstriert wurde, auf welche Weise monadische Strukturen in die Kategorien von Lax-Algebren eingeschlossen sind. Der Hauptsatz gestattet eine systematische Behandlung monadischer Ergebnisse, wobei in der Fachliteratur erwähnt Sonderfälle mit neuen Ergebnissen zusammengeführt wurden, und schlägt potenzielle Weiterentwicklungen mit gerichteter Homotopietheorie vor. Aufgrund der ersten Erfolge des Projekts ist zu erwarten, dass die Monadentheorie zu einem zentralem Instrument der Entwicklung vereinheitlichter Modelle in topologischen Umgebungen wird. Der Universalgelehrte Leibnitz wäre begeistert über diese Fortschritte: So ist die Europäische Union auch auf mathematischem Gebiet gut für die Zukunft gerüstet.
