Algebry wolne dostarczają nowych narzędzi na potrzeby topologii
Topologia jest głównym obszarem zainteresowań matematyki zajmującej się właściwościami zachowywanymi w przypadku ciągłej deformacji obiektów. Takie deformacje obejmują rozciąganie, ale nie rozrywanie czy sklejanie deformowanych obiektów. W topologii dwie funkcje ciągłe noszą nazwę homotopicznych, jeśli jedna z nich może być ciągle przekształcana w drugą. Taką deformację nazywamy homotopią pomiędzy dwiema funkcjami. Algebry wolne umożliwiają ujednolicone podejście do głównych, fundamentalnych struktur topologii. Finansowany ze środków UE projekt "Algebry wolne w teorii homotopii" (Laxalghomotop) przyczynia się do postępów w tej dziedzinie poprzez wykorzystanie powiązań pomiędzy algebrami wolnymi a kategoryjną teorią homotopii: teorią miejsc, teorią wysoko-wymiarowych kategorii, teorią modeli, teorią konwergencji, teorią pochodzenia oraz innymi zaawansowanymi zagadnieniami matematycznymi. Z kolei poziom abstrakcji dopuszczalny w algebrach wolnych stanowi punkt odniesienia dla opracowania zgeneralizowanych teorii homotopii, od interpretacji metrycznych do jednolitych. Prace stypendystów programu nad sprzężonymi porządkowo monadami oraz obiektami iniektywnymi prowadzone przed przystąpieniem do projektu zaprezentowały potencjał podejścia monadowego do topologii poprzez opisanie obiektów iniektywnych w algebrach wolnych. Ponieważ iniektywność jest istotnym zagadnieniem w teorii topologii, te prace stanowiły podstawę bieżącego projektu. W ramach tego podejścia poczyniono krok dalej, ukazując w jaki sposób struktury monadyczne przekładają się na kategorie algebr wolnych. Główny teoremat umożliwia systematyczne podejście do wyników monadyczności, łącząc poszczególne przykłady wymienione w literaturze z nowymi wynikami i sugerując potencjalne możliwości rozwoju w ukierunkowanej teorii homotopii. Po wczesnych sukcesach projektu oczekuje sie, że teoria monad stanie się centralnym narzędziem w opracowywaniu jednoczących modeli w kontekstach topologicznych. Zapewni to Unii Europejskiej rozstrzygający atut matematyczny.
