Dalle lax-algebre nuovi strumenti per la topologia
La topologia è un campo importante della matematica che si occupa delle proprietà mantenute quando gli oggetti vengono sottoposti a deformazioni continue, ad esempio lo stiramento, ma non la lacerazione e l'incollaggio. Nella topologia, due funzioni continue sono dette omotopiche se una può essere deformata continuamente nell'altra; tale deformazione viene detta omotopia tra le due funzioni. Le lax-algebre consentono di adottare un approccio unificato alle principali strutture fondamentali della topologia, e il progetto Laxalghomotop ("Lax algebras in homotopy theory"), finanziato dall'UE, sta maturando notevoli progressi in questo campo, sfruttando i collegamenti tra le lax-algebre e la teoria dell'omotopia categorica: la teoria delle locale, la teoria delle categorie dimensionali di ordine superiore, la teoria dei modelli, la teoria della convergenza, la teoria della discendenza e altri argomenti di matematica avanzata. L'astrazione consentita dalle lax-algebre, infatti, costituirà un punto di riferimento per lo sviluppo di generalizzazioni delle teorie omotopiche, dalle interpretazioni metriche a quelle uniformi. Prima del progetto, il lavoro effettuato da un borsista sulle monadi di ordine aggiunto e sugli oggetti iniettivi ha dimostrato la potenza dell'approccio monadico alla topologia, descrivendo gli oggetti iniettivi delle lax-algebre; dal momento che l'iniettività è un tema importante nella teoria dell'omotopia, questo lavoro è stato un precursore dell'attuale progetto. Con questo approccio è stato fatto un ulteriore passo in avanti, dimostrando in che modo le strutture monadiche sono implicite nelle categorie delle lax-algebre. Il teorema principale consente un trattamento sistematico dei risultati della monadicità, unendo determinate istanze menzionate nella letteratura con risultati nuovi, e suggerisce potenziali sviluppi con la teoria dell'omotopia diretta. Dopo i primi successi del progetto, è probabile che la teoria delle monadi diverrà uno strumento centrale nello sviluppo di modelli di unificazione nelle configurazioni topologiche, fornendo all'Unione Europea una risorsa matematica di eccezionale importanza.
