Les lax-algèbres apportent de nouveaux outils à la topologie
La topologie est une branche majeure des mathématiques, qui traite des propriétés qui sont conservées lors de la déformation continue des objets. Ces déformations acceptent les étirements mais excluent les déchirures ou le recollage des surfaces déformés. En termes de topologie, deux fonctions continues sont dites homotopes si l'on dispose d'une déformation continue de l'une vers l'autre. Cette déformation est appelée une homotopie entre les deux fonctions. Les lax-algèbres apportent une approche unifiée des structures fondamentales de la topologie. Le projet Laxalghomotop («Lax algebras in homotopy theory») financé par l'UE contribue aux progrès dans ce domaine en exploitant les liens entre les lax-algèbres et les théories des homotopies catégoriques: théorie des locales, théorie de catégories de dimensions supérieures, théorie des modèles, théorie de la convergence, théorie de descente et autres domaines de hautes mathématiques. En retour, l'abstraction autorisée par les lax-algèbres apportera un point de référence pour concevoir des généralisations des théories de l'homotopie, avec des interprétations métriques à uniformes. Avant ce projet, le bénéficiaire de la subvention a travaillé sur les foncteurs adjoints et les objets injectifs, démontrant la puissance de l'approche monadique en topologie en décrivant les objets injectifs des lax-algèbres. L'injectivité étant un élément important de la théorie des homotopies, ces travaux ont posé les bases du projet en cours. Cette approche a été approfondie en démontrant comment les structures monadiques sont implicites dans les catégories des lax-algèbres. Le théorème principal autorise un traitement systématique des résultats monadiques, unissant des résultats particuliers mentionnés dans la littérature avec de nouveaux résultats, et suggérant des développements possibles avec les théories d'homotopies orientées. Au vu des succès initiaux du projet, on s'attend à ce que la théorie des monades devienne un outil fondamental pour le développement de modèles unifiés en topologie. Ceci apportera à l'Union européenne un atout mathématique crucial.
